آموزش ریاضی دوازدهم ۱۳ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۵ دقیقه

آموزش تبدیل نمودار توابع در حسابان دوازدهم

فرض کنید که بر اساس دانش خود در این سال ها نمودار یک تابع را به خوبی رسم کردید و حالا می خواهید آن را کمی به راست ببرید، ارتفاعش را بیشتر کنید یا حتی بر عکسش کنید. آیا لازم است که محاسبات را از نو انجام دهید؟ پاسخ این پرسش را در آموزش تبدیل نمودار توابع در حسابان دوازدهم خواهید گرفت. در این درس از حسابان دوازدهم رشته ریاضی قدم به قدم با انواع تبدیل نمودار آشنا خواهیم شد.

فهرست محتوا پنهان

1 تبدیل نمودار تابع چیست؟

2 انتقال نمودار تابع به چپ، راست، بالا و پایین

3 انبساط و انقباض تابع چگونه انجام می شود؟

4 قرینه کردن نمودار تابع نسبت به محورهای مختصات

5 چگونه با چند تبدیل نمودار تابع جدید رسم کنیم؟

6 سوالات متداول

تبدیل نمودار تابع چیست؟

نمودار یک مفهوم پیچیده و از دل علم آمار نیست! بلکه نشان می دهد چه ورودی از تابع چه خروجی دارد. تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=x^2

این تابع نموداری u شکل دارد، که پایین ترین نقطه آن مبدا مختصات است:

(0,0)

اگر این نمودار را دو واحد بالاتر ببریم، شکل آن تغییری نمی کند و فقط موقعیت آن تغییر می کند. تبدیل نمودار یعنی این که اندازه و جهت یک نمودار را بدون محاسبه از ابتدا تغییر دهیم.

انتقال نمودار تابع به چپ، راست، بالا و پایین

وقتی یک آیکن را روی صفحه اصلی گوشی خود جا به جا می کنید، شکل آن و محتوای آن برنامه تغییری نمی کند، دقیقا انتقال نمودار تابع نیز همین است.

انتقال افقی نمودار تابع

انتقال افقی یعنی نمودار را به سمت چپ یا راست حرکت دهیم. اگر تابع اولیه را به شکل زیر در نظر بگیرید:

f(x)

رابطه زیر تابع را به اندازه a واحد به سمت راست منتقل می کند:

g(x)=f(x-a)

رابطه زیر نیز نمودار را a واحد به سمت چپ منتقل می کند:

g(x)=f(x+a)

در این روابط، دقت کنید که a عددی مثبت است. این نکته را به خاطر بسپارید که جهت انتقال افقی دقیقا خلاف جهت علامتی است که داخل پرانتز مشاهده می کنید!

انتقال عمودی نمودار تابع

در انتقال عمودی تابع به سمت بالا یا پایین حرکت می کند.

رابطه زیر نمودار تابع را a واحد به سمت بالا می برد:

g(x)=f(x)+a

رابطه زیر نمودار را a واحد به سمت پایین می آورد:

g(x)=f(x)-a

این تفاوت را به خاطر بسپارید: تغییر بیرون تابع انتقال عمودی ایجاد می کند، تغییر داخل ورودی تابع انتقال افقی.

انبساط و انقباض تابع چگونه انجام می شود؟

گاهی به جای جا به جایی نمودار می خواهیم آن بکشیم یا فشرده کنیم. این تغییرات را انقباض و انبساط می نامیم.

انبساط و انقباض عمودی

در رابطه زیر تمامی خروجی ها دو برابر می شوند:

g(x)=2f(x)

بنابراین نمودار در راستای عمودی کشیده می شود.

بالعکس، دقیقا در رابطه زیر ارتفاع نقاط نسبت به محور افقی نصف می شود و نمودار انقباض عمودی پیدا می کند:

g(x)=\frac{1}{2}f(x)

دقیقا زمان هایی که تصویر را بالا و پایین می کشیم یا این که فشرده می کنیم، مشابه زمان هایی است که تابع را می کشیم یا فشرده می کنیم.

انبساط و انقباض افقی

این بار ضرایب را داخل ورودی تابع قرار می دهیم. در رابطه زیر نمودار از نظر افقی فشره می شود و فاصله از محور عمودی به نصف می رسد:

g(x)=f(2x)

در رابطه زیر نمودار در راستای افقی دو برابر کشیده می شود:

g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)

پس دقت کنید! ضریب 2 بیرون تابع باعث کشیدگی عمودی می شود، اما ضریب 2 داخل ورودی تابع باعث فشردگی افقی خواهد شد.

قرینه کردن نمودار تابع نسبت به محورهای مختصات

قرینه سازی را همانند تماشای تصویر در آینه در نظر بگیرید.

اگر بخواهیم نمودار را نسبت به محور افقی یا همان x ها قرینه کنیم، علامت خروجی را تغییر دهیم:

g(x)=-f(x)

مثلا نمودار زیر بر خلاف سهمی معمولی رو به پایین باز می شود:

g(x)=-x^2

برای قرینه سازی نسبت به محور عمودی یا همان محور y ها باید علامت ورودی را عوض کنیم:

g(x)=f(-x)

در این حالت نقاط سمت راست و چپ نمودار جا به جا می شوند. البته اگر نمودار ابتدا نسبت به y متقارن باشد، بعد از قرینه سازی تغییری در ظارهش مشاهده نمی شود:

f(x)=x^2

چگونه با چند تبدیل نمودار تابع جدید رسم کنیم؟

حالا چند تبدیل را هم زمان انجام می دهیم. فرض کنید تابع اولیه به شکل زیر باشد:

f(x)=x^2

و تابع جدید نیز به این صورت باشد:

g(x)=-2(x-1)^2+3

برای رسم مراحل زیر را انجام می دهیم:

نمودار سهمی اولیه را یک واحد به راست منتقل می کنیم
ارتفاع نقاط را نسبت به محور افقی دو برابر کنیم
نمودار را نسبت به محور x قرینه می کنیم
در پایان نمودار را سه واحد بالا ببریم

نتیجه نهایی این سهمی است که مشاهده می کنید:

(1,3)

برای جلوگیری از اشتباهات رایج در مبحث تبدیل نمودار توابع سعی کنید که نمودار نهایی را با نمودار اولیه مقایسه کنید تا به خوبی متوجه تغییرات شوید. احتمالا در سال دوازدهم مهم ترین دغدغه شما آمادگی برای کنکور ریاضی است، در همین باره توصیه می کنم تا مقاله مطالعه حسابان دوازدهم در کنکور را مطالعه کنید.

درس حسابان یکی از مهم ترین درس ها برای داوطلبان کنکور و دانش آموزان رشته ریاضی است و برخی داوطلبان برای یادگیری عمیق تر و حتی جذاب تر آن به دنبال یک دبیر و مشاورانی کارآزموده هستند به همین جهت مراجعه به بخش تماس با ما در سایت مهندس امیر محمودزاده خالی از لطف نیست. ایشان با سال ها سابقه در آموزش رتبه های برتر کنکور ریاضی و تجربی می توانند به شما در مسیر کنکور و امتحان نهایی کمک کنند.

سوالات متداول

تبدیل نمودار تابع چیست؟

تبدیل نمودار تابع یعنی جابه‌جایی، کشیدن، فشرده کردن یا قرینه کردن نمودار یک تابع برای به دست آوردن نمودار جدید، بدون اینکه لازم باشد تمام نقاط را دوباره محاسبه کنیم.

چگونه نمودار تابع را به چپ یا راست منتقل کنیم؟

برای انتقال به راست، یک عدد مثبت را از ورودی تابع کم می‌کنیم و برای انتقال به چپ، همان عدد را به ورودی اضافه می‌کنیم. مثلاً نمودار f(x-3) سه واحد به راست منتقل می‌شود.

تفاوت انتقال افقی و عمودی نمودار تابع چیست؟

در انتقال افقی، نمودار به چپ یا راست حرکت می‌کند و تغییر داخل ورودی تابع انجام می‌شود. اما در انتقال عمودی، با اضافه یا کم کردن عددی از خروجی تابع، نمودار به بالا یا پایین می‌رود.

انبساط و انقباض نمودار توابع چه تفاوتی دارند؟

انبساط یعنی کشیده شدن نمودار و انقباض یعنی فشرده شدن آن. این تغییرات می‌توانند افقی یا عمودی باشند و به محل و مقدار ضریب در رابطه تابع بستگی دارند.

آیا برای رسم نمودار تابع جدید باید تمام نقاط را محاسبه کنیم؟

خیر. اگر نمودار تابع اولیه را بشناسیم، می‌توانیم با استفاده از انتقال، انبساط، انقباض و قرینه‌سازی، نمودار بسیاری از توابع جدید را بدون محاسبه تک‌تک نقاط رسم کنیم.