استدلال ریاضی گسسته دوازدهم

اگر بگوییم جمع دو عدد فرد همیشه زوج می شود، شاید با چند مثال آن را بپذیریم، اما آیا این حکم همیشه درست است؟ در ریاضی جواب شما خیر است! در ریاضیات برای اثبات این که یک حکم درست است باید دلایل کافی داشته باشیم که همه حالت های ممکن را پوشش دهد. استدلال ریاضی گسسته دوازدهم نیز به همین موضوعات می پردازد.

استدلال ریاضی چیست؟

استدلال ریاضی یعنی از اطلاعاتی مشخص به نتیجه ای درست برسیم. در این درس با مفهوم گزاره نیز آشنا می شویم؛ گزاره جمله ای است که می توان درباره درست یا نادرست بودن آن قضاوت کرد. مثلا گزاره: همه اعداد زوج بر دو بخش پذیر هستند. درست است اما گزاره: همه اعداد فرد اول هستند. نادرست است.

بگذارید کمی شفاف سازی کنیم. با دیدن اعدادی مثل 3، 5، 7 ممکن است فکر کنیم که تمامی اعداد فرد اول هستند، در حالی که عدد 9 آن را نقض می کند (عددی فرد است ولی اول نیست.) پس در نتیجه مشاهده چند نمونه دلیل نمی شود که آن گزاره درست باشد.

از آن جا که مطالب ریاضی به هم پیوسته است و گاهی یاد نگرفتن یک نکته کوچک در فصل های بعدی ممکن است گریبان گیرمان شود! به شما توصیه می کنم تا مقاله نقشه راه مطالعه ریاضی گسسته برای امتحان نهایی را مطالعه کنید.

مثال نقض: چگونه نادرستی یک حکم را ثابت کنیم؟

وقتی حکمی درباره تمای اعداد صحبت می کند، فقط کافی است یک مورد پیدا کنیم تا آن حکم درباره آن درست نباشد. به این نمونه مثال نقض می گوییم. در همان مثالی که بالاتر زدیم در ادعای: همه اعداد فرد اول هستند. عدد 9 یک مثال نقض است، زیرا فرد است ولی اول نیست.

به این نکته توجه کنید که یک مثال نقض برای رد کردن یک حکم کافی است اما هزاران مثال درست نمی تواند آن را لزوما اثبات کند!

اثبات مستقیم در استدلال ریاضی

در اثبات مستقیم از اطلاعاتی که داریم آغاز می کنیم و رفته رفته به نتیجه می رسیم. فرض کنید می گوییم مجموع دو عدد فرد همیشه زوج است. می دانیم که هر عدد فرد را می توان به شکل دو برابر عدد صحیح به اضافه یک نوشت. اگر a و b دو عدد فرد باشند داریم:

در این رابطه m و n دو عدد صحیح دلخواه هستند.

حالا دو عدد فرد را با هم جمع می کنیم:

می بینیم حاصل جمع، دو برابر یک عدد صحیح است، پس حتما زوج خواهد بود. حالا سوال پیش می آید که تفاوت این روش با امتحان کردن عدد چیست؟ ما در این مثال نشان دادیم که این روش برای هر دو عدد زوج دلخواه درست است و نه این دو عددی که انتخاب کرده ایم.

در صورتی که می خواهید با سایر مباحث ریاضیات گسسته سال دوازدهم ریاضی آشنا شوید، مقاله آموزش ریاضیات گسسته دید مناسبی از این فصل ها به شما می دهد. همچنین در بخش تماس با ما می توانید با مشاوران تیم مهندس امیر محمودزاده در ارتباط باشید و از خدمات آموزشی ایشان استفاده کنید.

اثبات با برسی همه حالت ها

در مسائلی که چند حالت دارند باید تمامی حالت ها را بررسی کنیم.

مثال: ثابت کنید که حاصل ضرب هر دو عدد صحیح متوالی همیشه زوج است.

هر عدد صحیح یا زوج است یا فرد است، پس دو حالت داریم:

• حالت اول: اگر عدد اول زوج باشد، حاصل ضرب آن در عدد بعدی نیز زوج است.
• حالت دوم: اگر عدد اول فرد باشد، عدد بعدی حتما زوج خواهد بود، پس حاصل ضرب باز هم زوج می شود.

چون در این جا تمام حالت ها که همین دو حالت بالا است بررسی شدند، پس حکم ثابت می شود.

برهان خلف و اثبات بازگشتی چیست؟

برهان خلف نوعی اثبات غیر مستقیم است یعنی این که ابتدا خلاف حکم مورد نظر را اثبات می کنیم و نشان می دهیم که این فرض به تناقض می رسد. فرض کنید می خواهیم اثبات کنیم که دو عدد صحیح متوالی نمی توانند هر دو زوج باشند.

اگر فرض کنیم هر دو عدد زوج باشند، تفاضل دو عدد نیز باید زوج باشد، این در حالی است که تفاضل دو عدد 1 می شود که عددی فرد است. این تناقض نشان دهنده نادرستی فرض اولیه است.

در اثبات بازگشتی ابتدا درستی یک حکم را برای عدد آغازین بررسی می کنیم، سپس ثابت می کنیم اگر حکم برای یک عدد طبیعی درست باشد برای عدد بعدی هم برقرار است. از آن جا که ریاضیات گسسته نقش مهمی در کنکور دارد، بهتر است مقاله بهترین روش مطالعه ریاضیات گسسته کنکور را بخوانید.

تمرین استدلال ریاضی با پاسخ

تمرین: آیا مربع هر عدد فرد همیشه فرد است؟ دلیل بیاورید.

پاسخ: هر عدد فرد را می توان به شکل دو برابر یک عدد صحیح به اضافه یک نوشت.

این عبارت را به توان دو می رسانیم (مربع می کنیم) پس داریم:

در این رابطه K یک عدد صحیح دلخواه است. عبارت نهایی دو برابر یک عدد صحیح بعلاوه یک است، پس فرد خواهد بود. در این تمرین به جای بررسی چند عدد با اثبات مستقیم نشان دادیم که حکم برای همه اعداد فرد درست است.

همان طور که مشاهده کردید، در استدلال ریاضی گسسته دوازدهم، مهم تر از رسیدن به جواب، توضیح دادن علت درستی آن است. برای رد یک حکم کلی از مثال نقض استفاده می کنیم و برای اثبات آن هم همان طور که گفتیم از اثبات مستقیم، بررسی همه حالت ها، برهان خلف و اثبات بازگشتی استفاده می کنیم. در پایان مراجعه به حل سوالات نظریه اعداد گسسته با تدریس مهندس امیر محمودزاده خالی از لطف نیست.

سوالات متداول

۱. استدلال ریاضی در گسسته دوازدهم چیست؟

استدلال ریاضی یعنی استفاده از اطلاعات و قواعد منطقی برای اثبات درستی یک حکم. در درس اول فصل اول گسسته دوازدهم، روش‌هایی مانند اثبات مستقیم، برهان خلف و مثال نقض آموزش داده می‌شوند.

۲. تفاوت اثبات مستقیم و مثال نقض چیست؟

در اثبات مستقیم، با استفاده از اطلاعات معلوم و مراحل منطقی، درستی یک حکم را ثابت می‌کنیم. اما در مثال نقض، کافی است یک نمونه پیدا کنیم که نشان دهد یک حکم کلی نادرست است.

۳. برهان خلف در استدلال ریاضی چگونه انجام می‌شود؟

در برهان خلف، ابتدا خلاف حکمی را که می‌خواهیم اثبات کنیم، فرض می‌کنیم. سپس با استدلال منطقی نشان می‌دهیم که این فرض به تناقض می‌رسد؛ بنابراین حکم اولیه درست است.