آموزش ریاضی دهم ۱۶ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۴ دقیقه

متمم یک مجموعه چیست؟

برای درک این که متمم یک مجموعه چیست باید به سراغ یک مثال ساده برویم. فرض کنید در یک کلاس 30 نفری، 5 نفر عضو تیم بسکتبال مدرسه هستند. اگر سوال کنیم چند نفر عضو تیم بسکتبال مدرسه نیستند، جواب را در بین 25 نفر باقی مانده جستجو می کنیم و نه کل دانش آموزان شهر.

دقیقا 5 نفر دانش آموز عضو تیم بسکتبال مجموعه مورد نظر ما هستند و 25 نفر که عضو این تیم نیستند، متمم مجموعه هستند. در درس دوم از فصل اول ریاضی دهم خواهیم آموخت که چگونه محدوده مسئله را مشخص کنیم و متمم آن را بدست آوریم.

فهرست محتوا پنهان

1 متمم یک مجموعه چیست؟ و چه ارتباطی با مجموعه مرجع دارد؟

2 چگونه متمم یک مجموعه را پیدا کنیم؟

3 قوانین متمم یک مجموعه کدام اند؟

4 تعداد اعضای یک متمم را چطور حساب کنیم؟

5 سوالات متداول

متمم یک مجموعه چیست؟ و چه ارتباطی با مجموعه مرجع دارد؟

در درس قبل متوجه شدید که مجموعه دسته ای مشخص از چیزها یا عددها است که می توانیم درباره عضو بودن هر عضو یا عضو نبودن تصمیم بگیریم. مثلا دانش آموزان یک کلاس یا مجموعه اعداد زوج بین ا تا 20 مجموعه هستند.

حال اگر درباره عضو تیم بسکتبال بودن یا نبودن دانش آموزان همان کلاس صحبت کنیم، تمام دانش آموزان کلاس همان مرجع ما هستند. یعنی محدوده ای که پاسخ را در آن جستجو می کنیم.

مجموعه مرجع را معمولا با حرف U و مجموعه مورد نر را با A نشان می دهیم. فرض می کنیم تمام عضوهای A در U وجود دارند. متمم یک مجموعه به زبان ساده تمام عضوهایی از مجموعه مرجع هستند که عضو A نیستند.

متمم مجموعه A تمامی عضوهایی هستند که در مرجع حضور دارند ولی عضو A نیستند. متمم مجموعه A را با A پریم نشان می دهیم که به شکل زیر است:

A^{\prime}=U-A

برای این که تفاوت محدوده مسئله و گروه انتخاب شده مشخص شود، می توانید ویدیو مجموعه مرجع و تفکیک یک مجموعه را ببینید.

چگونه متمم یک مجموعه را پیدا کنیم؟

برای یافتن متمم در ابتدا باید مجموعه مرجع را بخوانید، سپس اعضای مجموعه اصلی را کنار بگذاریم و هر چیزی که باقی ماند عضو متمم است. به این مثال توجه کنید:

\begin{aligned} U&=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\\ A&=\{2,4,6,8\} \end{aligned}

فرض کنید که مجموعه مرجع عددهای طبیعی 1 تا 8 باشد و مجموعه A فقط شامل عددهای زوج باشد.

در مجموعه مرجع عددهای فردی وجود دارند که در A قرار نمی گیرند، پس متمم دقیقا از همین عددها تشکیل شده است.

A^{\prime}=\{1,3,5,7\}

در نمودار ون نیز همین اتفاق رخ می دهد. مستطیل مجموعه مرجع و دایره داخل آن، مجموعه A است. قسمت داخل مستطیل و بیرون دایره متمم است. بیرون مستطیل اصلا جزو مسئله ما حساب نمی شود.

نکته مهم: با تغییر مجموعه مرجع متمم نیز می تواند تغییر کند. مثلا اگر مرجع را عددهای 1 تا 10 انتخاب کنیم ولی A همان عدد های زوج قبلی باشد، دو عدد دیگر نیز به متمم اضافه می شوند.

\begin{aligned} U&=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\\ A^{\prime}&=\{1,3,5,7,9,10\} \end{aligned}

پس در نظر داشته باشید که متمم مجموعه را هیچ وقت نباید بدون توجه به مرجع نوشت.

قوانین متمم یک مجموعه کدام اند؟

مجموعه تهی هیچ عضوی ندارد، چون مجموعه مرجع همه اعضای مورد بحث را دربر می گیرد. چیزی بیرون آن باقی نمی ماند، پس متمم مجموعه مرجع تهی است. برعکس این مورد نیز دست است، یعنی اگر مجموعه اصلی تهی باشد، تمامی اعضای مرجع در متمم قرار می گیرند. اگر دو بار متمم بگیریم به مجموعه آغازین می رسیم:

\begin{aligned} U^{\prime}&=\varnothing\\ \varnothing^{\prime}&=U\\ (A^{\prime})^{\prime}&=A \end{aligned}

نکته مروری: اجتماع، جمع کردن عضوهای یک مجموعه بدون تکرار است و اشتراک یعنی اعضای مشترک دو مجموعه. مجموعه و متممش تمام مرجع را در خود دارند اما عضو مشترکی ندارند.

این قوانین ساده ترین قوانین مجموعه ها درباره متمم هستند. قوانین تخصصی تر مانند قوانین دمورگان بحث جداگانه ای دارند که فعلا آن ها را آغاز نمی کنیم.

تعداد اعضای یک متمم را چطور حساب کنیم؟

گاهی نیازی به نوشتن تک تک اعضای مجموعه ها نداریم و صرفا تعداد آن ها را نیاز داریم. اگر مجموعه مرجع تعدادی عضو داشته باشد، تعداد اعضای مجموعه متمم برابر است با تعداد اعضای مرجع منهای تعداد اعضای مجموعه اصلی، n به معنای تعداد اعضای یک مجموعه است.

n(A^{\prime})=n(U)-n(A)

مثلا در یک کلاس 40 نفری که 12 نفر در گروه پژوهشی شرکت می کنند، اگر همه دانش آموزان کلاس را مرجع در نظر بگیریم، 28 نفر در گروه پژوهشی نیستند، پس در نتیجه تعداد اعضای متمم برابر با 28 است.

n(A^{\prime})=30-12=18

این روش ها زمانی درست هستند که مجموعه اصلی زیر مجموعه، مجموعه مرجع باشد. مطالعه مطالب تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی خالی از لطف نیست.

در مجموعه مهندس امیر محمودزاده، ریاضی را عمیق و با روش درست یاد خواهید گرفت، تجربه دانش آموزان سال های قبل و داوطلبان کنکور در سال های قبل نشان داده که روش تدریس تاثیر بسیاری بر علاقه مندی افراد به ریاضیات دارد. در بخش تماس با ما منتظرتان هستیم.

سوالات متداول

آیا بدون مشخص بودن مجموعه مرجع می‌توان متمم را تعیین کرد؟

معمولاً نه؛ چون ممکن است با عوض شدن مرجع، جواب تغییر کند.

آیا هر عددی که در A نیست عضو متمم است؟

خیر؛ آن عدد باید حتماً در مجموعه مرجع هم باشد.

آیا تعداد اعضای متمم همیشه کمتر از مجموعه اصلی است؟

خیر؛ بسته به تعداد اعضای هر بخش، ممکن است کمتر، بیشتر یا برابر باشد.

آیا متمم یک مجموعه می‌تواند نامتناهی باشد؟

بله؛ اگر مرجع نامتناهی باشد، متمم نیز ممکن است بی‌نهایت عضو داشته باشد.

تفاوت متمم و تفاضل دو مجموعه چیست؟

متمم یک حالت ویژه از تفاضل است: اعضای مرجع که در مجموعه اصلی وجود ندارند.