تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی چیست؟ آموزش ساده با مثال

در فصل اول ریاضی دهم با مجموعه آشنا می شویم، و یکی از مفاهیمی که در این فصل می خوانیم مجموعه های متناهی و نامتناهی است. این دو مفهوم به ظاهر بسیار ساده به نظر می رسند اما گاهی طراح سوال با بازی با کلمات ما را به این سوال وا می دارد که تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی چیست؟ بر همین اساس در این مقاله با زبانی ساده به بررسی پاسخ این سوال خواهیم پرداخت.

مجموعه در ریاضی به چه معناست؟

مجموعه در ریاضی مانند سایر مفاهیم مثل نقطه یا خط تعریف مشخصی ندارد، اما چیزی که از آن می دانیم این است که دسته ای از اجزا یا اشیا مشخص است که می توانیم درباره عضو بودن یا عضو نبودن هر چیزی در آن تصمیم بگیریم. به عنوان مثال می توان مجموعه عددهای اول یک رقمی را به شکل زیر نوشت:

A = {2,3,5,7}

در این مجموعه A نام مجموعه است و ارقام بین دو آکولاد عضوهای این مجموعه هستند. چیزی که می خواهیم بدانیم این است که آیا این مجموعه محدود است یا این که پایانی ندارد؟

مجموعه متناهی چیست؟

مجموعه متناهی یعنی این که تعداد اجزای آن محدود باشد و عددی مشخص داشته باشد، به زبان ساده تر با شمردن اجرای آن بالاخره به رقم آخر می رسیم. دقت کنید که هر چقدر هم که عضوهای مجموعه زیاد باشد ولی عضو آخر داشته باشد ما آن را متناهی در نظر می گیریم.

مثلا جمعیت کشور آلمان شاید یک رقم میلیونی باشد، اما بالاخره تمام می شود و به آخرین نفر می رسیم! پس متناهی است. تعداد درختان روی کره زمین هر تعدادی که باید متناهی است چون بالاخره تمام می شود. مجموعه B یک مجموعه متناهی است. برای مثال عددی بیشتر به آموزش مجموعه متناهی و نامتناهی مراجعه کنید.

B = {1,2,3,4}

مجموعه نامتناهی چیست؟

در این نوع از مجموعه ها ما نمی توانیم تعداد اجزای این ها را با یک عدد طبیعی نشان دهیم، به بیان دیگر آخرین عضو این مجموعه ها معلوم نیست و پایانی ندارند. به مثال های زیر دقت کنید:

N = {1,2,3,4,5,…}

Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}

مجموعه اول مجموعه اعداد طبیعی را نشان می دهد و مجموعه دوم، مجموعه اعداد صحیح را نشان می دهد. در مجموعه اول رقم آخر و همچنین تعداد این عضوها مشخص نیست در حالی که در مجموعه دومی عضو اول و آخر معلوم نیست در نتیجه نمی توان رقمی را به عنوان تعداد عضوهای این مجموعه در نظر گرفت. ظاهر این مفاهیم بسیار ساده است اما با بررسی بودجه بندی ریاضی دهم می توانید به ارزش این فصل پی ببرید.

تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی

به این مورد توجه کنید که برای متناهی بودن یا نبودن یک مجموعه باید به تعداد اعضا دقت کنید و نه این که عضوها چقدر بزرگ اند یا شمارش آن ها چقدر دشوار است. مثلا این مجموعه یک مجموعه متناهی است و سه عضو هم بیشتر ندارد، فارغ از بزرگ بودن عضو های آن:

{10000,20000,30000}

نکته مهم دیگر که معمولا دانش آموزان را به اشتباه می اندازد این است که مجموعه تهی، هیچ عضوی ندارد و متناهی است. هر زیر مجموعه از یک مجموعه متناهی، مانند مجموعه اصلی متناهی است ولی زیر مجموعه های یک مجموعه نامتناهی می توانند متناهی یا نامتناهی باشند.

آیا بازه محدود همیشه متناهی است؟

این یک اشتباه رایج در بین دانش آموزان است! به عنوان مثال اگر بازه (1,0) شامل همه اعداد حقیقی بین صفر و یک باشد بی نهایت عضو دارد در حالی که مجموعه اعداد طبیعی بین صفر و 5 فقط 4 عضو دارد. پس در شمارش عضوها باید به اعداد مجاز دقت کنید(اعداد حقیقی در مثال اول و طبیعی در مثال دوم).

دو تمرین کوتاه برای مجموعه متناهی و نامتناهی

1-مجموعه اعداد طبیعی کوچک تر از 4 متناهی است یا نامتناهی؟

اعضای این مجموعه شامل {1,2,3} هستند، چون این مجموعه سه عضو دارد پس متناهی است.

2-مجموعه عددهای صحیح کوچک تر از 4 چه وضعیتی دارد؟

این مجموعه به این صورت است: {…,-2,-1,0,1,0,2,3} چون اعداد صحیح منفی پایانی ندارند، پس آن را نامتناهی در نظر می گیریم.

برای یادگیری عمیق تر این مباحث  و همین طور سایر مباحث ریاضی دهم، می توانید دوره آفلاین ریاضی دهم را با تدریس مهندس امیر محمودزاده تماشا کنید. معمولا داشتن یک دبیر مجرب می تواند به یادگیری عمیق تر ریاضی کمک کند، به خصوص در سال دهم که برای سال های بعد مانند یک پایه است.

سوالات متداول

1. تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی چیست؟

مجموعه متناهی تعداد اعضای مشخص و محدودی دارد؛ مانند مجموعه روزهای هفته. اما مجموعه نامتناهی تعداد اعضای بی‌پایانی دارد؛ مانند مجموعه اعداد طبیعی که از 1 شروع می‌شوند و تا بی‌نهایت ادامه دارند.

2. آیا مجموعه تهی متناهی است یا نامتناهی؟

مجموعه تهی یک مجموعه متناهی است؛ زیرا هیچ عضوی ندارد و تعداد اعضای آن صفر است. از آنجا که صفر یک عدد مشخص و محدود است، مجموعه تهی را در دسته مجموعه‌های متناهی قرار می‌دهیم.

3. چگونه تشخیص دهیم یک مجموعه متناهی است یا نامتناهی؟

برای تشخیص مجموعه متناهی و نامتناهی باید تعداد اعضای آن را بررسی کنیم. اگر بتوانیم اعضای مجموعه را بشماریم و به آخر برسیم، مجموعه متناهی است. اما اگر اعضا بدون پایان ادامه داشته باشند، مجموعه نامتناهی خواهد بود. برای مثال، مجموعه اعداد زوج مثبت نامتناهی است.