آموزش استدلال هندسه دهم

در درس دوم، فصل اول هندسه دهم با مبحثی مواجه می شویم که استدلال نام دارد. احتمالا تا به حال در هندسه مشاهده کرده اید که یک شکل داد می زند که مثلث است! اما این برای هندسه اصلا کافی نیست! در آموزش استدلال هندسی دهم خواهیم آموخت که به زبان ریاضی این موارد را توضیح دهیم.

استدلال در هندسه چیست و چرا اهمیت دارد؟

به زبان ساده استدلال یعنی با استفاده از اطلاعاتی که در اختیار داریم و دانسته هایی که درستی آن ها مشخص است! به یک نتیجه منطقی برسیم. فرض کنید یک مثلث رسم کرده اید که به نظر می رسد دو ضلع آن برابر است، آیا می توانید با قطعیت بگویید که این مثلث متساوی الساقین است؟

خیر! ممکن است دو ضلع صرفا در تصویر برابر دیده شوند و طول واقعی آن ها برابر نباشد. برای اثبات این موضوع باید از اطلاعات مسئله و ویژگی های هندسی کمک بگیریم. و دقیقا تفاوت بین حدس و اثبات اینجا معلوم می شود.

در درس قبل با رسم عمود منصف، نیم ساز و ویژگی های آن آشنا شدیم. اگر به مرور این مفاهیم نیاز دارید و هنوز احساس می کنید به مرور بیشتر احتیاج دارید، به مقاله خلاصه ترسیم های هندسی دهم مراجعه کنید.

تفاوت استدلال استقرایی و استنتاجی در هندسه دهم

در هندسه دهم با دو روش اصلی استدلال آشنا می شویم:

• استدلال استقرایی: یعنی چند نمونه را بررسی می کنیم و از آن ها به یک نتیجه گیری کلی می رسیم.

فرض کنید که سه مثلث رسم می کنیم و مجموعه زوایای داخلی همه آن ها را اندازه می گیریم که 180 می شود. پس حدس می زنیم که زوایای داخلی تمام مثلث ها در جهان 180 درجه است.

نکته این جاست که بررسی چند مثلث به تنهایی نمی تواند برای اثبات تمامی مثلث ها کافی باشد، چراکه این اندازه گیری ممکن است خطا داشته باشد.

• استدلال استنتاجی: در این روش از قضایا و اصول قبلی کمک می گیریم تا یک نتیجه جدید را اثبات کنیم.

پس تا این جا متوجه شدیم که استقرا در هندسه برای کشف الگو و ساختن حدس کاربرد دارد، اما برای اثبات کلی به استدلال هندسی نیاز داریم.

چگونه یک قضیه هندسی را مرحله مرحله اثبات کنیم؟

قبل از حل مسئله، آشنایی با دو نکته خالی از لطف نخواهد بود:

• فرض: اطلاعاتی که مسئله در اختیار ما گذاشته است.
• حکم: نتیجه ای که باید درستی آن را اثبات کنیم.

قضیه هندسی همان حکمی است که با استدلال درستی آن اثبات شده باشد. بسیاری از گزاره های هندسی به شکل “آگر … آن گاه …” بیان می شوند و به آن ها گزاره شرطی می گوییم. این مورد در حل مسائل مکان هندسی دهم نیز کاربرد دارد، مخصوصا زمانی که به دنبال نقاطی با فاصله برابر از دو نقطه مشخص هستیم.

عکس قضیه، مثال نقض و برهان خلف چیست؟

در آموزش استدلال هندسه دهم با چند مفهوم مهم دیگر آشنا می شویم که شامل موارد زیر هستند:

• عکس قضیه: اگر جای فرض و حکم یک قضیه را عوض کنیم عکس آن بدست می آید. مثلا ثابت کردیم که هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر آن فاصله برابر دارد. عکس این قضیه می گوید هر نقطه که از دو سر پاره خط فاصله برابر داشته باشد، روی عمود منصف آن قرار دارد.

وقتی یک قضیه و عکس آن هر دو درست باشند می توان آن را با عبارت “اکر و تنها اگر” بیان کنیم. به چنین رابطه ای قضیه دو شرطی می گوییم.

• مثال نقض: برای رد کردن یک ادعای کلی، کافی است یک نمونه خلاف آن پیدا کنید.

مثلا ادعای ((هر لوزی مربع است)) نادرست است، چراکه یک لوزی با زاویه غیر قائمه مثال نقض آن محسوب می شود.

• برهان خلف: در این روش، حکم را موقتا نادرست فرض می کنیم، اگر با این فرض به تناقض برسیم، نتیجه می گیریم که حکم اصلی درست بوده است.

مفهوم دیگری به نام نقیض گزاره نیز وجود دارد. گزاره جمله ای خبری است که ممکن است درست یا نادرست باشد و نقیض همان گزاره را انکار می کند. مثلا نقیض نقطه روی خط قرار دارد، نقطه روی خط قرار ندارد، است.

تمامی این مفاهیم به زبان ساده توسط مهندس امیر محمودزاده تدریس شده اند، فقط کافی است که در بخش تماس با ما، با تیم مهندس محمودزاده در ارتباط باشید.

تمرین استدلال هندسه دهم

پرسش: دو زاویه AOB و BOC مجاور یکدیگر اند و ضلع های OA و OC دو نیم خط مخالف روی یک خط راست هستند. اگر این دو زاویه برابر باشند ثابت کنید هر کدام زاویه قائمه است.

پاسخ: دو دو زاویه روی یک خط راست قرار دارند، مجموع آن ها 180 درجه است و از طرف دیگر اندازه آن ها برابر است.

اگر اندازه هر زاویه را X در نظر بگیریم خواهیم داشت:

پس هر دو زاویه قائمه هستند و OB بر خط AC عمود است. دقت کنید که ما در این مسئله جواب را پیدا نکردیم، بلکه با استفاده از فرض های مسئله درستی حکم را نشان داده ایم. مقاله روش خواندن هندسه دهم برای امتحان می تواند به شما روش درست اثبات ها و نوشتن آن ها را آموزش دهد، پس مطالعه آن خالی از لطف نیست.

سوالات متداول

آیا استدلال استقرایی برای اثبات قضیه کافی است؟

خیر. استدلال استقرایی به ما کمک می‌کند الگوها را کشف کنیم و حدس بزنیم، اما بررسی چند مثال، درستی یک حکم کلی را اثبات نمی‌کند.

برای شروع یک سؤال اثباتی هندسه چه کار کنیم؟

ابتدا فرض و حکم را جدا کن، سپس اطلاعات داده‌شده را روی شکل مشخص کن و ببین کدام تعریف یا قضیه می‌تواند تو را به حکم برساند.

آیا عکس هر قضیه هندسی درست است؟

خیر. عکس قضیه باید جداگانه بررسی شود. ممکن است قضیه اصلی درست باشد، اما عکس آن با یک مثال نقض رد شود.

تفاوت نقیض گزاره با عکس قضیه چیست؟

در عکس قضیه، جای فرض و نتیجه عوض می‌شود؛ اما نقیض گزاره، درستی همان گزاره را انکار می‌کند. این دو مفهوم یکسان نیستند.

از کجا بفهمیم اثبات هندسی ما کامل است؟

وقتی هر مرحله بر اساس فرض‌های مسئله یا یک حقیقت اثبات‌شده باشد و در پایان دقیقاً به حکم خواسته‌شده برسیم، اثبات کامل است.