آموزش منطق ریاضی یازدهم
فرض کنید دوست شما می گوید که: ((امروز مدرسه تعطیل است و فردا امتحان داریم.)) برای این که جمله درست باشد باید هر دو اتفاق درست باشند اما اگر همان شخص بگوید: ((امروز مدرسه تعطیل است یا فردا امتحان داریم.)) آیا باز هم لازم است هر دو اتفاق با هم رخ دهند تا جمله درست باشد؟ پاسخ این پرسش به آموزش منطق ریاضی یازدهم مربوط می شود. در این مطلب از درس اول آمار و احتمال یازدهم رشته ریاضی یاد خواهیم گرفت که گزاره چیست؟ چطور درستی و نادرستی جملات را تشخیص دهیم؟ و چگونه با استفاده از چند قانون ساده گزاره ها را بررسی کنیم؟
منطق ریاضی چیست؟
منطق ریاضی به ما کمک می کند تا درست یا نادرست بودن جملات را با قواعد خاصی مشخص کنیم و از آن ها نتیجه گیری کنیم. مثلا فرض کنید که همه دانش آموزان این کلاس در آزمون حسابان شرکت کرده اند. اگر امیر هم دانش آموز همین کلاس باشد، پس نتیجه می گیرم که امیر هم در امتحان حسابان شرکت کرده است. چنین نتیجه گیری هایی نمونه ای از منطق ریاضی هستند. برای یادگیری این مبحث ابتدا باید با مفهوم گزاره آشنا شوید.
گزاره در منطق ریاضی چیست؟
گزاره یک جمله خبری است که دقیقا دو ارزش درست یا نادرست دارد. به عنوان مثال گزاره: عدد 6 زوج است، یک گزاره درست و گزاره عدد 7 زوج است، یک گزاره علظ است. نکته مهم این است که گزاره نباید لزوما درست باشد، فقط باید بتوانیم درستی و نادرستی آن را تشخیص دهیم.
اما دقت کنید جملاتی مثل: ساعت چند است؟ یا پنجره را ببند. گزاره نیستند، چرا که نمی توان به آن ها ارزش درست یا نادرست داد. در ریاضی ما ارزش درست را با T و ارزش نادرست را با F نشان می دهیم.
گزاره نما چیست؟
فرض کنید بنویسیم که عدد مورد نظر اگر با 2 جمع شود، حاصل آن 5 می شود. تا زمانی که آن عدد مشخص نشود نمی توانیم بگوییم که این گزاره درست است. برای نمایش عددی نامعلوم از متغیری مانند x استفاده می کنیم:
به چنین عبارتی گزاره نما می گوییم. اگر به جای x عدد 3 قرار دهیم، عبارت درست می شود؛ اما با عدد 4 نادرست خواهد بود.
تقیض گزاره چیست؟
نقیض یعنی گزاره ای بسازیم که ارزش آن دقیقا مخالف گزاره اصلی باشد. اگر گزاره ما این باشد که امروز پنجشنبه است. نقیض آن می شود: امروز پنجشنبه نیست. اگر گزاره اصلی را با p نشان دهیم می توانیم تقیض را به این شکل نشان دهیم:
اگر گزاره اصلی درست باشد، نقیض آن نادرست است و برعکس. در ادامه به یک اشتباه رایج توجه کنید: نقیض جمله همه دانش آموزان حاضر اند. این نیست که هیچ دانش آموزی حاضر نیست. بلکه نقیض درست این است: حداقل یکی از دانش آموزان حاضر نیست.
ترکیب گزاره ها در منطق ریاضی
گاهی دو گزاره را با کلماتی مانند “و” یا “یا” به هم وصل می کنیم تا گزاره جدیدی بسازیم. فرض کنید:
گزاره p: کامپیوتر را روشن کردم.
گزاره q: وارد سایت مدرسه شدم.
ترکیب عطفی یا “و”
اگر بگوییم کامپیوتر را روشن کردم و وارد سایت مدرسه شدم. این جمله زمانی درست است که هر دو کار انجام شده باشند. به این حالت ترکیب عطفی می گوییم:
ترکیب فصلی با “یا”
در منطق ریاضی ترکیب فصلی زمانی درست است که حداقل یکی از دو گزاره درست باشند.
تفاوت مهم “یا” در منطق ریاضی با روزمره این است که اگر هردو گزاره هم درست باشند، باز هم ترکیب فصلی درست است.
ترکیب شرطی و دو شرطی چیست؟
احتمالا جملاتی مانند: اگر درس بخوانم نمره خوبی می گیرم، را شنیده اید. این ساختار را ترکیب شرطی می نامیم. بخش بعد از “اگر” مقدم و بخش دوم تالی نام دارد.
ترکیب شرطی فقط در یک حالت نادرست است: زمانی که مقدم درست و تالی نادرست باشد. به عنوان مثال اگر p بیان کند که عدد 8 زوج است و q بیان کنید که عدد 8 مضرب 3 است، گزاره شرطی نادرست می شود. چون مقدم درست ولی تالی نادرست است. اگر مقدم درست باشد، در منطق ریاضی جمله درست محسوب می شود.
ترکیب دو شرطی را با عبارت”اگر و تنها اگر” می شناسیم:
این ترکیب زمانی درست است که هر دو گزاره ارزش یکسان داشته باشند. یعنی هر دو دوست یا نادرست باشند.
جدول ارزش گزاره ها چگونه رسم می شود؟
تا این جا انواع گزاره ها و ترکیب ها را شناختید اما حال سوال این است که چطور تمام حالت های درست و نادرست بودن آن ها را یکجا بررسی کنیم؟
در جدول زیر T به معنای درست و F به معنای نادرست است:
دقت کنید که برای n گزاره پایه تعداد حالت های ممکن برابر با رابطه زیر است:
پس سه گزاره، 8 حالت مختلف دارند.
برای یادگیری بهتر این جدول ها صرفا حفظ نکنید، برای خودتان جمله بسازید و کاربردی بیاموزید. درباره روش درست مطالعه این درس در مقاله روش مطالعه آمار و احتمال رشته ریاضی به تفصیل توضیح داده ام.
گزاره هم ارز چیست؟
گاهی دو گزاره ظاهرشان متفاوت است ولی در تمام حالت ها ارزش یکسانی دارند، این گزاره ها را هم ارز می نامیم. مثلا اگر جمله ای را دوبار نقیض کنیم، دوباره به معنای جمله اولی می رسیم:
در این رابطه علامت هم ارزی نشان می دهد که دو طرف همیشه ارزش یکسان دارند.
سورهای عمومی و وجودی در منطق ریاضی
به این دو جمله توجه کنید:
همه دانش آموزان کلاس کتاب دارند.
حداقل یک دانش آموز کلاس کتاب دارد.
جمله اول از همه دانش آموزان استفاده می کند پس سور عمومی است. جمله دوم وجود یک مورد را بیان می کند و دارای سور وجودی است. به صورت نمادین به شکل زیر است:
عبارت بالا می گوید که هر عدد حقیقی بزرگتر یا مساوی با صفر است.
حالا برای سور وجودی داریم:
که به معنای آن است که حداقل یک عدد صحیح وجود دارد که مربعش 4 است. مثلا عدد 2 این ویژگی را دارد.
برای نقیض کردن گزاره های سوری، برای همه به حداقل یکی وجود دارد که … نیست تبدیل می شود. و وجود دارد به برای همه … نیست تبدیل می شود:
در این روابط D دامنه متغیر است.
برای داشتن یادگیریر عمیق و منظم می توانید به دوره سالیانه یازدهم رشته ریاضی و تجربی با تدریس مهندس امیر محمودزاده مراجعه کنید. در این دوره مفاهیم دشوار ریاضی یازدهم در هر دو رشته به زبان ساده تدریس می شوند.
سال یازدهم اول سالی است که دانش آموزان با درس آمار و احتمال آشنا می شوند، این درس بسیار کاربردی در سال دوازدهم و درس گسسته است همچنین در بسیاری از رشته های دانشگاهی از مفاهیم این درس استفاده می شود. به همین دلیل نیاز است که روی این درس با پکیج آمار و احتمال باز هم با تدریس مهندس محمودزاده روی این درس عمیق تر شوید. فراموش نکنید که آموزش منطق ریاضی یازدهم پایه بسیاری از مفاهیم در این درس است.
سوالات متداول
۱. منطق ریاضی یازدهم درباره چیست؟
منطق ریاضی در درس اول کتاب آمار و احتمال یازدهم رشته ریاضی آموزش داده می‌شود. در این درس با مفهوم گزاره، نقیض، ترکیب گزاره‌ها، جدول ارزش و سورهای عمومی و وجودی آشنا می‌شویم.
۲. تفاوت گزاره و گزاره‌نما در منطق ریاضی چیست؟
گزاره جمله‌ای خبری است که ارزش آن درست یا نادرست است؛ اما گزاره‌نما عبارتی دارای متغیر است که برای تعیین ارزش آن باید مقدار متغیر مشخص شود. برای مثال، «عدد ۴ زوج است» یک گزاره و «عدد x زوج است» یک گزاره‌نماست.
۳. چگونه جدول ارزش گزاره‌ها را یاد بگیریم؟
برای یادگیری جدول ارزش ابتدا باید تفاوت ترکیب‌های عطفی، فصلی، شرطی و دوشرطی را درک کنید. سپس با بررسی حالت‌های درست و نادرست هر گزاره و حل چند مثال ساده، می‌توانید جدول ارزش را بدون حفظ کردن کامل آن تکمیل کنید.
