نمونه سوال کاربردهایی در مثلثات
نمونه سوال کاربردهایی در مثلثات باعث تقویت تسلط شما در حل مسائل مهم مثلثات می شود که کاربرد های مثلثات از مهم ترین مباحث کنکور سراسری است.
مثلثات یکی از مهم ترین مباحث در ریاضیات است که کاربرد های گسترده ای در علوم مختلف دارد که مهندس امیر محمود زاده در راستای افزایش مهارت شما، مفاهیم مثلثات را تدریس کرده اند.
درک عمیق این مبحث نه تنها به حل مسائل پیچیده ریاضی کمک می کند، بلکه توانایی تحلیل و حل مسائل واقعی را نیز در افراد تقویت می کند.
نمونه سوالات مثلثات همراه با جواب:
در مثال های زیر ما دو نمونه سوال مثلثات را برای شما آورده ایم که ترکیبی از قوانین سینوس و کسینوس و مساحث مثلث را بیان می کند.
دایره مثلثاتی به شما کمک می‌کند تا مفاهیمی نظیر سینوس، کسینوس و تانژانت را در زاویه های مختلف بهتر درک کنید.
سوال:
اگر در مثلث \text { ABC } داشته باشیم:
a \cos \widehat{C}=2 c \cos \widehat{A}=10, a \operatorname{cin} \widehat{C}+C \sin \widehat{A}=8
آنگاه مساحت مثلث \mathrm{ABC} کدام است؟
1) 15
2) 20
3) 30
4) 60
در سوال بالا اولین رابطه ای که باید به کمک آن سوال را حل کنیم، رابطه زیر است:
\mathrm{a} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{C} \sin \widehat{\mathrm{~A}}در اینجا رابطه سینوس برای محاسبه ضلع و زاویه در مثلث آورده شده است.
سوال پیش می آید که به چه دلیل در یک مثلث، رابطه زیر برقرار است؟
رابطه a \operatorname{cin} \widehat{C}=C \operatorname{cin} \widehat{A} ارتباط بین طول اضلاع یک مثلث و زاویه های روبروی آن ها را بیان می کند.
این رابطه بیان می کند که در هر مثلث، طول ضلع a با سینوس زاویه روبروی خودش (\widehat{\mathrm{C}}) و طول ضلع c با سینوس زاویه روبروی خودش (\widehat{A}) در تناسب است.
این تناسب از قانون سینوس ها در مثلث به دست می آید، که بیان می کند:
\frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}این قانون بیان می کند که اضلاع و زاویه های روبه روی آن ها همیشه با هم در ارتباط هستند و به کمک این رابطه می توانیم طول یا زاویه های ناشناخته را محاسبه کنیم.
در سوالی که مطرح شده است، اگر به جای نسبت گیری کامل، فقط دو ضلع و دو زاویه مربوط را داشته باشیم:
\mathrm{a} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{C} \sin \widehat{\mathrm{~A}}پس در راستای ادامه حل سوال خواهیم داشت:
\mathrm{a} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{C} \sin \widehat{\mathrm{~A}} \rightarrow 2 \mathrm{a} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{C}}=8 \rightarrow \mathrm{a} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{C}}=4در عبارت دوم داریم:
\begin{gathered} a \cos \widehat{\mathrm{C}}=10 \\ C \cos \widehat{\mathrm{~A}}=5 \end{gathered}محاسبه ضلع سوم مثلث با قانون کسینوس
جمع این دو عبارت برابر با طول ضلع b خواهد بود.
a \cos \widehat{\mathrm{C}}+\mathrm{C} \cos \widehat{\mathrm{~A}}=\mathrm{b}سوالی که ممکن است برای شما ایجاد شود نتیجه گیری ما و رسیدن به عبارت فوق است، در ادامه توضیح می دهیم که راه رسیدن به این فرمول مهم چیست.
رابطه a \cos \widehat{\mathrm{C}}+\mathrm{C} \cos \widehat{\mathrm{~A}}=\mathrm{b} b بیان می کند که اگر طول ضلع های a و c را در کسینوس زاویه های مربوط شان ضرب کنیم، جمع آن ها برابر با ضلع سوم مثلث (b) می شود.
به مثال زیر توجه کنید:
فرض کنید که یک خط مستقیم دارید (مثلا ضلع b) و دو نردبان به دو طرف این خط تکیه داده اید (ضلع های a و c).
اگر هر نردبان را روی زمین بیاندازید، هرکدام به اندازه ای از طول خط b را می پوشاند. مجموع این دو طول، کل خط b می شود.
می توان نتیجه گرفت که در این رابطه هر ضلع یک مثلث (وقتی تجزیه شود) می تواند به تشکیل ضلع سوم کمک کند، و این کار از طریق کسینوس زاویه ها انجام می شود.
در ادامه خواهیم داشت:
\begin{gathered} a \cos \widehat{\mathrm{C}}=10 \\ \mathrm{C} \cos \widehat{\mathrm{~A}}=5 \\ \rightarrow a \cos \widehat{\mathrm{C}}+\mathrm{C} \cos \widehat{\mathrm{~A}}=\mathrm{b} \rightarrow 10+5=15 \rightarrow \mathrm{~b}=15 \end{gathered}محاسبه مساحت مثلث با استفاده از سینوس
مساحت مثلث از رابطه زیر به دست می آید:
S=\frac{1}{2} a c \sin \hat{B}پس:
S_{A B C}^{\Delta}=\frac{1}{2} \mathrm{~b} \mathrm{a} \sin \widehat{\mathrm{C}}=\frac{1}{2} \times 15 \times 4=30علاوه بر مثلثات، برای درک عمیق تر ریاضیات، مطالعه و تمرین در حوزه هایی نظیر دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی نیز ضروری است.
همچنین، مطالعه عبارت‌های جبری ریاضی دهم تجربی به شما در تحلیل معادلات و ارتباط آن‌ها با مثلثات کمک می‌کند.
اگر به دنبال تقویت مهارت های خود در حل مسائل ریاضی هستید، حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم می تواند یک تمرین ارزشمند باشد.
کاربرد کسینوس در مسائل مثلثات
سوال:
در مثلث A B C داریم:
a^2 \cos ^2 \hat{B}+b^2 \sin ^2 \hat{A}=8
اندازه ضلع a کدام است؟
به روش حل این سوال دقت کنید!
در مراحل حل سوال بالا به نتیجه زیر رسیدیم:
\mathrm{B} \operatorname{cin} \widehat{\mathrm{~A}}=\mathrm{A} \sin \widehat{\mathrm{~B}}پس توان 2 این رابطه نیز برقرار است یعنی:
B^2 \operatorname{cin}^2 \widehat{A}=A^2 \sin ^2 \widehat{B}پس می توان صورت سوال را به شکل زیر نوشت:
\begin{gathered} \mathrm{a}^2 \cos ^2 \widehat{\mathrm{~B}}+\mathrm{A}^2 \sin ^2 \widehat{\mathrm{~B}}=8 \\ \mathrm{a}^2\left(\cos ^2 \widehat{\mathrm{~B}}+\sin ^2 \widehat{\mathrm{~B}}\right)=8 \end{gathered}می دانیم که:
\cos ^2 \widehat{\mathrm{~B}}+\sin ^2 \widehat{\mathrm{~B}}=1پس:
\mathrm{a}^2=8 \rightarrow \mathrm{a}=2 \sqrt{2}مثلثات یکی از مهم ترین بخش های ریاضیات است که در حل مسائل پیچیده ریاضی و تحلیل مسائل کاربرد دارد.
ترتیب مطالعه مباحث ریاضی برای کنکور تجربی به شما کمک می کند تا ابتدا بر مباحث پایه ای مانند مثلثات، دایره مثلثاتی، و دنباله ها مسلط شوید و سپس به سراغ مباحث پیچیده تر بروید.
در بالا شما نمونه سوالاتی را مشاهده می کنید که با استفاده از قوانین سینوس و کسینوس، محاسبه ضلع ها، زاویه ها و مساحت مثلث ها را بررسی می کند.
