فصل سوم هندسه یازدهم

با شما هستیم با معرفی فصل سوم هندسه یازدهم و تمامی سرفصل های آن را به صورت خلاصه و روان توضیح خواهیم داد ناگفته نماند در دوره جامع ریاضی یازدهم تمامی این موارد گفته شده است.

یادآوری: روابط طولی در مثلث قائم الزاویه که در سال گذشته با آنها آشنا شده اید، عبارتند از:

$فصل سوم هندسه یازدهم$

$ریاضی یازدهم$

روابط طولی در مثلث

$ریاضی یازدهم$

$روابط طولی در مثلث$

یادآوری: در هندسه ی دهم ثابت کردیم که عمود منصف های اضلاع هر مثلث، در یک نقطه هم رأس هستند همچنین در کتاب هندسه یازدهم نیز دیدیم که این نقطه ی هم رأسی، مرکز دایره محیطی مثلث است. حال اگر دایره محیطی مثلث قائم الزاویه را رسم کنیم، مشاهده می کنیم مرکز این دایره بر روی وتر مثلث قائم الزاویه است و لذا قطر دایره برابر است با وتر مثلث.

نتیجه: با توجه به مطالب بالا (در مثلث قائم الزاویه) خواهیم داشت:

$فصل سوم هندسه$

قضیه سینوس ها در هندسه

در قضیه سینوس ها، می خواهیم رابطه ی فوق را برای هر مثلث دلخواهی اثبات کنیم.

در هر مثلث ABC که AB=c، AC=b و BC=a باشد خواهیم داشت:

$قضیه سینوس ها در هندسه$

اثبات) مثلث ABC را در حالت های مختلف زیر بررسی می کنیم:

حالت اول – A=90 (رابطه فوق برای این حالت اثبات شده است)

مثلث ABC را رسم می کنیم. سپس قطر BD را مطابق شکل رسم کرده و D را به A وصل می کنیم:

$قضیه سینوس ها در هندسه$

قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم

حالت اول A=90 می باشد که در این حالت مثلث ABC، قائم الزاویه است و لذا از قضیه فیثاغورس خواهیم داشت:

$قضیه کسینوس ها$

و چون cos 90 = 0 می باشد، لذا حکم بدست می آید:

$قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم$

حالت دوم A>90 خواهد بود:

$قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم$

$قضیه کسینوس ها$

$کسینوس ها در هندسه$

نیمساز ها در هندسه

در این بخش به قضیه نیمساز های زاویه های داخلی مثلث و محاسبه ی طول نیمساز ها خواهیم پرداخت.

قضیه نیمساز ها: در هر مثلث، نیمساز هر زاویه ی داخلی، ضلع روبرو به آن زاویه را به نسبت اندازه های ضلع های آن زاویه تقسیم می کنند.

اثبات) از رأس C خطی به موازات نیمساز AD رسم کرده سپس ضلع AB را مطابق شکل از رأس A امتداد می دهیم، تا دو خط همدیگر را در نقطه E قطع کنند:

$نیمساز ها در هندسه$

$نیمساز$

$نیمساز در هندسه یازدهم$

قضیه طول نیمساز مثلث: در هر مثلث، مربع اندازه ی هر نیمساز داخلی، برابر است:

زاویه ضلع ی اندازه ضرب حاصل-کند می ایجاد مقابل ضلع روی نیمساز که ای قطعه دو اندازه ضرب حاصل AD را امتداد می دهیم تا دایره را در E قطع کند، سپس E را به C وصل می کنیم:

$قضیه نیمساز ها$