فصل سوم هندسه یازدهم

فصل سوم هندسه یازدهم

با شما هستیم با معرفی فصل سوم هندسه یازدهم و تمامی سرفصل های آن را به صورت خلاصه و روان توضیح خواهیم داد ناگفته نماند در دوره جامع ریاضی یازدهم تمامی این موارد گفته شده است.

یادآوری: روابط طولی در مثلث قائم الزاویه که در سال گذشته با آنها آشنا شده اید، عبارتند از:

فصل سوم هندسه یازدهم

ریاضی یازدهم

روابط طولی در مثلث

ریاضی یازدهم

روابط طولی در مثلث

روابط طولی در مثلث

یادآوری: در هندسه ی دهم ثابت کردیم که عمود منصف های اضلاع هر مثلث، در یک نقطه هم رأس هستند همچنین در کتاب هندسه یازدهم نیز دیدیم که این نقطه ی هم رأسی، مرکز دایره محیطی مثلث است. حال اگر دایره محیطی مثلث قائم الزاویه را رسم کنیم، مشاهده می کنیم مرکز این دایره بر روی وتر مثلث قائم الزاویه است و لذا قطر دایره برابر است با وتر مثلث.

نتیجه: با توجه به مطالب بالا (در مثلث قائم الزاویه) خواهیم داشت:

فصل سوم هندسه

قضیه سینوس ها در هندسه

در قضیه سینوس ها، می خواهیم رابطه ی فوق را برای هر مثلث دلخواهی اثبات کنیم.

در هر مثلث ABC که AB=c، AC=b و BC=a باشد خواهیم داشت:

قضیه سینوس ها در هندسه

اثبات) مثلث ABC را در حالت های مختلف زیر بررسی می کنیم:

حالت اول – A=90 (رابطه فوق برای این حالت اثبات شده است)

مثلث ABC را رسم می کنیم. سپس قطر BD را مطابق شکل رسم کرده و D را به A وصل می کنیم:

قضیه سینوس ها در هندسه

 

قضیه سینوس ها در هندسه


 

قضیه سینوس ها در هندسه

 

قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم

حالت اول A=90 می باشد که در این حالت مثلث ABC، قائم الزاویه است و لذا از قضیه فیثاغورس خواهیم داشت:

قضیه کسینوس ها

و چون cos 90 = 0 می باشد، ذا حکم بدست می آید:

قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم

حالت دوم A>90 خواهد بود:

قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم

قضیه کسینوس ها در هندسه یازدهم

 

قضیه کسینوس ها

کسینوس ها در هندسه

نیمساز ها در هندسه

در این بخش به قضیه نیمساز های زاویه های داخلی مثلث و محاسبه ی طول نیمساز ها خواهیم پرداخت.

قضیه نیمساز ها: در هر مثلث، نیمساز هر زاویه ی داخلی، ضلع روبرو به آن زاویه را به نسبت اندازه های ضلع های آن زاویه تقسیم می کنند.

اثبات) از رأس C خطی به موازات نیمساز AD رسم کرده سپس ضلع AB را مطابق شکل از رأس A امتداد می دهیم، تا دو خط همدیگر را در نقطه E قطع کنند:

نیمساز ها در هندسه

نیمساز

نیمساز در هندسه یازدهم

قضیه طول نیمساز مثلث: در هر مثلث، مربع اندازه ی هر نیمساز داخلی، برابر است:

زاویه ضلع ی اندازه ضرب حاصل-کند می ایجاد مقابل ضلع روی نیمساز که ای قطعه دو اندازه ضرب حاصل AD را امتداد می دهیم تا دایره  را در E قطع کند، سپس E را به C وصل می کنیم:

قضیه نیمساز ها

فرض: AD نیمساز

قضیه نیمساز

قضیه هرون در هندسه یازدهم

مثال) در مثلث ABC با اضلاع 13، 14 و 15، ارتفاع AH را رسم کنید.

مطابق شکل مقادیر x و y  را بدست می آوریم و سپس مساحت مثلث ABC را محاسبه خواهیم کرد:

قضیه هرون در هندسه یازدهم

 

قضیه هرون در هندسه یازدهم

اگر همین روش مثال فوق را در حالت کلی در مثلث ABC که در آن BC=a، AC=b و AB=c به کار ببریم آنگاه، به قضیه ای به نام هرون می رسیم:

قضیه هرون

که در این رابطه P نصف محیط می باشد.

ارتفاع در مثلث

در مثلث ABC مطابق شکل داریم:

قضیه هرون در هندسه یازدهم

قضیه هرون در هندسه

 

همچنین ببینید: حل تمرین هندسه یازدهم

دیدگاه‌ها ۰
ارسال دیدگاه جدید