درسنامه معادله گنگ

معادلات گنگ به نوعی از مسائل ریاضی اطلاق می‌شود که در آن‌ها تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات است. این نوع از مسائل به خصوص در جبر خطی و تئوری گراف‌ها کاربرد دارد و معمولاً به دنبال راه‌حل‌های کلی برای آن‌ها هستیم. در این متن، می‌خواهیم به بررسی روش‌های مختلف حل یک نمونه سوال معادله گنگ بپردازیم.

برای مثال، فرض کنید معادلات زیر را داریم:

x + y + z = 2
x – y + 2z = 3

در این مثال، داریم دو معادله و سه مجهول (x, y, و z). بنابراین، این معادلات گنگ هستند و راه‌حل کلی دارند. حل این نوع مسائل می‌تواند از طریق روش‌های مختلفی انجام شود که در ادامه به چند مورد از آن‌ها می‌پردازیم.

1. روش گوس:

روش گوس یکی از روش‌های مرسوم برای حل معادلات خطی است. در این روش، ابتدا ماتریس ضرایب معادلات را تشکیل می‌دهیم و سپس با استفاده از عملیات سطری، ماتریس را به شکل مثلثی بالا تبدیل می‌کنیم. در نهایت، با جایگذاری مقادیر به دست آمده در معادلات اصلی، راه‌حل کلی را پیدا می‌کنیم.

2. روش کرامر:

روش کرامر برای حل معادلات خطی به کمک قاعده کرامر استفاده می‌کند. در این روش، ابتدا ماتریس ضرایب معادلات را تشکیل می‌دهیم و سپس با محاسبه دترمینان ماتریس‌های حاصل از جایگزینی ستون‌ها با بردار سمت راست معادلات، راه‌حل کلی را به دست می‌آوریم. البته این روش در معادلات گنگ کاربرد گسترده‌ای ندارد.

3. روش ماتریس معکوس:

برای حل معادلات خطی با استفاده از ماتریس معکوس، ابتدا ماتریس ضرایب معادلات را تشکیل می‌دهیم. سپس ماتریس معکوس آن را محاسبه کرده و آن را در بردار سمت راست معادلات ضرب می‌کنیم. در نهایت، بردار حاصل شامل راه‌حل کلی معادلات خواهد بود. این روش نیز در معادلات گنگ کاربرد گسترده‌ای ندارد، زیرا ماتریس ضرایب ممکن است معکوس نداشته باشد.

4. روش فضای برداری:

روشی دیگر برای حل معادلات گنگ استفاده از مفاهیم فضای برداری است. در این روش، معادلات را به عنوان یک سیستم برداری در نظر می‌گیریم و سپس با استفاده از مفاهیمی مانند ترکیب خطی، پایه و بعد فضا، راه‌حل کلی را به دست می‌آوریم.

برای مثال در معادلات داده شده:

x + y + z = 2
x – y + 2z = 3

می‌توانیم ماتریس ضرایب را به شکل زیر بنویسیم:
A = | 1 1 1 |
| 1 -1 2 |
و بردار سمت راست معادلات را به شکل زیر داشته باشیم:

b = | 2 |
| 3 |
حالا می‌توانیم با استفاده از روش‌های مختلف فضای برداری، مانند تجزیه LU یا تجزیه QR، راه‌حل کلی را به دست آوریم.