درسنامه معادله درجه 2

درسنامه معادله درجه 2 یکی از پایه ‌های اساسی ریاضیات است که نقش مهمی در درک مفاهیم پیشرفته‌ تر این علم ایفا می ‌کند. این نوع معادلات به دلیل ساختار سهمی ‌شکل نمودار هایشان و رفتار جالب ریشه ‌هایشان، ابزار قدرتمندی برای تحلیل مسائل مختلف در حوزه‌ های علمی و مهندسی محسوب می ‌شوند.

سوالات امتحان نهایی ریاضی دوازدهم تجربی شامل مباحث مهمی مانند معادلات درجه دوم است که تسلط بر روش‌های حل آن برای کسب نمره بالا ضروری است.

یادگیری روش‌ های حل این معادلات، مانند استفاده از دلتا، دلتا پریم، یا تجزیه، نه تنها مهارت‌ های ریاضی فرد را تقویت می ‌کند، بلکه قدرت تحلیل و حل مسئله را نیز بهبود می ‌بخشد.

تعریف معادله درجه دوم:

هر معادله ای که به فرم a x^2+b x+c=0 باشد.

که در آن:

c , b, a ضرایب معادله هستند .

x متغیر معادله است.
a \neq 0 چون اگر a=0 باشد، معادله به یک معادله خطی تبدیل می شود.

اگر در کنکور ریاضی و فیزیک نزنیم، احتمال کسب رتبه مطلوب به شدت کاهش می‌ یابد. مباحثی مانند معادلات درجه دوم بخش مهمی از سوالات را تشکیل می‌دهند و تسلط بر آن‌ ها می‌تواند تاثیر چشم‌ گیری در بهبود نتایج داشته باشد.

روش‌های حل معادله درجه دوم:

روش دلتا:

در روش دلتا، برای حل معادله درجه دوم به فرم استاندارد، ابتدا مقدار دلتا را محاسبه می کنیم:

\Delta=b^2-4 a c

بر اساس مقدار دلتا، نوع ریشه ها تعیین می شود:

1. اگر : \Delta>0 دو ریشه متمایز و حقیقی داریم.
2. اگر : \Delta=0 معادله یک ریشه مضاعف دارد.
3. اگر : \Delta<0 معادله ریشه حقیقی ندارد.

  • درصورتی که دلتا مثبت باشد ریشه ها معادله از طریق فرمول زیر محاسبه می شود:
x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}
  • در صورتی که دلتا برابر با صفر باشه ریشه معادله از طریق فرمول زیر محاسبه می شود:
x=-\frac{b}{2 a}

حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل یکی از کاربردی‌ ترین روش‌ ها است که با ساده‌ سازی معادله، ریشه‌ ها را به‌ سرعت محاسبه می‌کند.

 روش دلتا پریم \left(\Delta^{\prime}\right) :

روش دلتا پریم زمانی استفاده می ‌شود که ضرایب معادله درجه دوم به‌گونه ‌ای باشند که تقسیم b بر 2 راحت‌تر باشد؛ درواقع اگر ضریب b زوج باشد، از رابطه \left(\Delta^{\prime}\right) که شکل ساده ‌تری از دلتا است، استفاده می‌ کنیم.

فرم کلی معادله:

a x^2+b x+c=0

ابتدا \Delta^{\prime} محاسبه می شود:

\Delta^{\prime}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-a c

نوع ریشه‌ها مشابه روش دلتا بر اساس علامت \Delta^{\prime} تعیین می شود:
1. اگر : \Delta^{\prime}>0 دو ریشه متمایز و حقیقی داریم.
2. اگر : \Delta^{\prime}=0 معادله یک ریشه مضاعف دارد.
3. اگر : \Delta^{\prime}<0 معادله ریشه حقیقی ندارد.

برای به دست آوردن ریشه های معادله از فرمول زیر استفاده می کنیم:

x_1, x_Y=\frac{-b^{\prime} \pm \sqrt{\Delta^{\prime}}}{a}

به طور کلی در روش دلتا پریم داریم:

\left\{\begin{array}{l} b^{\prime}=\frac{b}{r} \\ \Delta^{\prime}=b^{\prime r}-a c \Rightarrow x_1, x_Y=\frac{-b^{\prime} \pm \sqrt{\Delta^{\prime}}}{a} \end{array}\right.

نکته:

  • اگر \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 پس x_2=\frac{c}{a}, x_1=1
  • اگر a+c=b پس x_2=\frac{-c}{a}, x_1=-1

حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی به درک بهتر روابط بین عبارات کسر و معادلات درجه دوم کمک می‌ کند و پایه‌ گذار موفقیت در ریاضیات پیشرفته است.

روابط بین ریشه‌ها و ضرایب در معادله درجه دوم:

هرگاه بخواهیم در مورد علامت ریشه های معادله ی درجه دوم بحث کنیم کافی است روی 3 پارامتر \mathrm{p}, \mathrm{~s}, \Delta و علامت آن ها بحث کنیم:

اگر \Leftarrow \mathrm{p}>0 دو ریشه هم علامت
اگر \Leftarrow \mathrm{p}<0 دو ریشه مختلف العلامت
اگر \Leftarrow \mathrm{s}>0 دو ریشه مثبت
اگر \Leftarrow \mathrm{s}<0 دو ریشه منفی

S : جمع ریشه ها
S=\alpha+\beta=-b / a
P : ضرب ریشه ها
P=\alpha \beta=c / a

تسلط بر این مبحث امکان درک عمیق‌ تر روابط بین ریشه‌ ها و ضرایب را فراهم می‌ کند و راه را برای حل مسائل پیشرفته‌ تر هموار می‌ سازد.

دیدگاه‌ها ۰
ارسال دیدگاه جدید