حد بینهایت و حد در بینهایت

حد و پيوستگی يكی‌ از فصل های جذاب در پايه های يازدهم می‌ باشد، قطعا در رشته های تجربی يكی از بهترين و می توان گفت جذاب ترين فصل هایی است كه می توان به راحتی سوالات كنكور در رابطه با آن را حل كرد، در ادامه با سوالاتی همچون حد چيست؟ چگونه می توانيم حد ها را به دست آوريم و انواع و اقسام روش های تست حد را عنوان خواهيم كرد.

حد بی‌ نهايت قطعا نقطه ایی می باشد كه تابع در آن به اندازه بی نهايت حد دارند؛ شايد شمایی كه تعريف حد را نمی دانيد درك اين موضوع خيلی سخت باشد ولی در ادامه به صورت كامل به آن ها خواهيم پرداخت.

حد بی نهايت چيست؟

حد در بی نهايت نشان دهنده آن است كه متغير x هر زمان ممكن كه به سمت های جهت های متفاوتی همچون منفی و مثبت حركت می كند در بازه زمانی مشخصی به بی نهايت ميل خواهد كرد، limx→∞f(x)  به عبارتی به اين شكل نشان داده خواهد شد، همانطور كه مشاهده می كنيد حد را با ليميت limit نشان می‌ دهد و قطعا كه علامت بی نهايت هم ∞ می باشد، البته در ادامه مشاهده می كنيد كه x ها به سمت بی نهايت ميل می كنند.

حال نوبت ما است كه به صورت تخصصی زمانی كه متغير x به بی نهايت ميل می كند را بررسی كنيم، اما قبل از آن توجه داشته باشيد كه برای حل كردن مسائل مربوطه بايد قوانين آن ها را فرا گرفته باشيد.

محاسبه حد

حل كردن سوالات مربوط به حد به اصطلاح با توجه به روش های خاصی انجام خواهد شد و البته كه روش هایی همانند موارد زير به شما كمك خواهد كرد.

• اولين نكته ایی كه بايد به آن اشاره كرد جايگزين كردن مناسب اعداد خواهد بود، اعداد ها و يا حروف ها به شما برای حل اين گونه مسائل كمك های بسياری خواهند كرد همانند:
  limx→f(x) .
• دومين مورد كه بايد به آن توجه كنيد در رابطه با حد تابع های گويا است، اگر مخرج كسر را عبارت x در نظر داشته باشيد كه توان عددی گويا داشته باشد، اگر هم در صورت كسر عددی حقيقی وجود داشته باشد می‌توانيد نتيجه گيری كنيد كه حاصل پاسخ برابر صفر می باشد. ( توجه داشته باشيد كه اگر در مخرج x عددی منفی باشد قطعا باز نتيجه گيری برابر صفر خواهد بود)

نكته: در صورتی‌ كه در كسر های موجود توان x به صورت منفی باشد قطعا كسری جديد در كسر ايجاد خواهد شد و قطعا كل رابطه حد به هم خواهد ريخت.

• سومين مورد از حد های بی نهايت در رابطه با چند جلمه ایی و تعريف های مربوطه به آن است، توجه داشته باشيد كه در روابط مربوطه هيچگاه نبايد مقدار a و n منفی شود و در غير اين صورت قطعا مقادير اشتباه به دست خواهند آمد.( به شكل توجه فرماييد، نمونه ایی از چند جمله ایی و تعريف ساده آن به نمايش گذاشته شده است).

نيتجه مهم: شما با استفاده كردن از اين تعريف به يك نتيجه گيری بسيار بزرگ خواهيد رسيد كه با بررسی آن می توانيد برای خود يك فرمول مناسب درست كنيد، حد بی نهايت در يك چند جمله همانند موارد بالا برابر است با بزرگترين حد موجود در توان ها دو. می توانيد در انواع بسياری از مثال های حد بی نهايت بزرگترین توان آن چند جمله ‌ای را جایگزین کل چند جمله‌ای کنید و می توانيد مشاهده كنيد كه پاسخ مد نظر درست به دست آمده است.( در تصوير زير هم فرمول كلی اين موضوع به خوبی قرار داده شده كه می توانيد آن را مشاهده كنيد، مقدار چند جمله ایی ها با p نشان داده شده است)

مجانب افقی چيست؟ چه ارتباطی با حد بی نهايت دارد؟

به صورت كلی در كتاب ها درسی و البته كمك درسی عنوان شده كه مقدار حد بی نهايت با مقدار تابع قائم مجانب برابری می كند. البته در ادامه روند تحصيلی خود متوجه آن خواهيد شد كه برخی ديگر از توابع ها به صورت مجانب افقی رسم خواهد شد؛ اما برای محاسبه مجانب افقی با توجه به تعريف های حد و قوانين آن می توان مسائل مربوطه را حل كرد.

می توان شرح داد موقعی كه ما يك حد بی نهايت را محاسبه می كنيم عبارتی كه نمايش داده خواهد شد به عبارتی مجانب افقی آن حد را نمايش می دهد، بهتر بدانيد كه شكل نموداری آن ها همانند تابع های هموگرافيكی است.

نكته : يكی از سوالاتی كه بسياری از طراحان از آن استفاده می كنند، در رابطه با نمودار اين مجانب ها است؛‌ با نمايش دادن نمودار از شما ظابطه هایی را درخواست خواهند كرد و البته كه ممكن است ظابطه ایی را برای شما ارائه كرده باشند و شما با بررسی آن ها می توانيد مقدار نمودار را رسم كرده و يا حدودی آن را تصور كنيد.

پيوستگی چيست و چه ارتباطی با حد دارد؟

به اصطلاح يكی‌ از همراهان هميشگی حد ها پيوستگی است و هميشه نام حد و پيوستگی در كنار يكديگر مطرح خواهند شد. شما اگر مسائل مربوط به حد را مشاهده كرده باشيد و حل كردن آن ها را فرا گرفته باشيد، به راحتی می توانيد با مبحث پيوستگی انس پيدا كنيد، برای پيوستگی چند نكته و چند شرط وجود دارد كه بايد از آن ها خبر داشته باشيد همانند موارد زير:

• شرايط پيوسته بودن : برای بررسی پيوستگی يك ضابطه ابتدا بايد مقدار حد چپ و راست آن را به دست آوريد و قطعا كه با به دست آوردن مقدار f يا همان مقدار تابع می توانيد بفهميد كه پيوستگی دارد يا نه، شرط اصلی آن است كه مقدار تابع و حد راست و حد چپ همگی با هم برابر باشد و در صورت برابر نبودن هر يك از آن ها ديگر مقدار تابع پيوستگی نخواهد داشت.

• پيوستگی راست: شايد اين سوال برای شما پيش آمده باشد كه اگر ميزان حد راست با مقدار تابع برابر باشد، دوباره پيوستگی وجود ندارد؟ قطعا كه وجود ندارد، ولی در رياضی به آن به اصطلاح می گويند كه حد پيوستگی راس دارد.

• پيوستگی چپ: برخی ديگر از مواقع ممكن است ميزان حد چپ با مقدار تابع برابر شده باشد و در اين هنگام می گويند كه حد پيوستگی چپ دارد.

جمع بندی:

حد در بی نهايت به معنای آن است كه مقدار x در بازه زمانی محدودی به بی نهايت بودن ميل خواهد كرد( فقط و فقط در بازه زمانی محدود و به همين دليل نقطه حد بی نهايت را برای آن تعريف كرده اند كه دانش آموزان گمراه نشوند)، شما برای محاسبه كردن حد بی نهايت كافی است كه اعداد و يا به عبارتی حروف ها را جايگزاری كنيد ولی بايد با توجه به مواردی بخش های قبل پيش برويد تا ميزان آن را دقيق به دست آورده باشد.

همچنین مقاله توابع متناوب را ببینید.