آموزش ریاضی یازدهم دسته‌بندی نشده ۲۰ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۵ دقیقه

معادله درجه دوم و تابع درجه ۲ یازدهم تجربی

معادله درجه دوم و تابع درجه ۲ یازدهم تجربی

اگر یک توپ را به بالا پرتاب کنید، هر چقدر هم که قوی باشید! بالاخره تا ارتفاعی بالا می رود و پایین می آید. در شرایط ساده شده و آرمانی می توانیم ارتفاع توپ را با یک تابع درجه دوم توصیف کنیم. در درس معادله درجه دوم و تابع درجه ۲ یازدهم تجربی یاد خواهیم گرفت که چطور این معادلات را حل کنیم، رابطه بین ریشه ها را بدانیم و نمودار سهمی را از روی معادله درجه دوم رسم کنیم.

فهرست محتوا پنهان
1 معادله درجه دوم چیست و ریشه های آن چه معنایی دارد؟
2 حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر
3 مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم
4 تابع درجه دوم چیست و چه تفاوتی با معادله دارد؟
5 نمودار سهمی، راس و محور تقارن تابع درجه دوم
6 تشخیص ریشه های تابع درجه دوم با دلتا
7 کاربرد تابع در جه دوم در پیدا کردن بیشترین مقدار
8 سوالات متداول

معادله درجه دوم چیست و ریشه های آن چه معنایی دارد؟

معادله درجه دوم به طور خلاصه یعنی معادله ای که بزرگ ترین توان متغیر آن 2 باشد. شکل کلی این معادله معمولا به شکل زیر است:

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\qquad(a\ne0)

در این رابطه که مشاهده می کنید، X متغیر است و a, b, c را ضرایب معادله می نامیم. ضریب a نباید صفر باشد، یرا در این صورت جمله دوم حذف می شود. به عددی که با قرار دادن آن به جای x دو طرف معادله برابر شوند، ریشه جواب می گوییم.

به عنوان مثال معادله زیر را در نظر بگیرید:

x2−4x+3=0(x−1)(x−3)=0x1=1,x2=3\begin{aligned} x^2-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0\\ x_1&=1,\quad x_2=3 \end{aligned}

با تجزیه، می توجه می شویم که ریشه های این معادله 1 و 3 هستند؛ چراکه هر کدام را به جای x قرار دهیم نتیجه صفر می شود. این روش فقط یکی از روش هاست، برای آشنایی با سایر روش ها به مقاله روش حل معادله درجه دوم مراجعه کنید، اگر هنوز هم کنجکاو هستید! حل معادله درجه دوم به روش مربع را بخوانید.

حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر

حل معادله درجه دوم با روش تغییر متغیر

در درس دوم ریاضی یازدهم گاهی معادلاتی را می بینیم که توان چهارم دارند و به عبارتی درجه چهارم محسوب می شوند، اما می توانیم آن ها را به معادله درجه دوم تبدیل کنیم.

به عنوان مثال معادله زیر را ببینید:

x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0

در این معادله توان چهارم همان مربع توان دوم است، بنابراین یک متغیر موقت به نام t معرفی معرفی می کنیم و به جای توان دوم x قرار می دهیم.

t=x2t2−5t+4=0(t−1)(t−4)=0t1=1,t2=4x=±1,x=±2\begin{aligned} t&=x^2\\ t^2-5t+4&=0\\ (t-1)(t-4)&=0\\ t_1&=1,\quad t_2=4\\ x&=\pm1,\quad x=\pm2 \end{aligned}

ابتدا معادله مربوط به t را حل می کنیم و سپس به متغیر اصلی یعنی x بر می گردیم. در این مثال 4 جواب بدست می آوریم که حقیقی هستند اما دقت کنید که اگر مقدار t منفی شود، چون t برابر با مربع یک عدد حقیقی است، آن مقدار جواب حقیقی برای x نیست.

مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم

سوالی که پیش می اید این است که برای پیدا کردن مجموع دو ریشه، همیشه باید معادله را حل کنیم؟ خیر!

اگر معادله دو ریشه با نام های x1 و x2 داشته باشد، می توان مجموع و حاصل ضرب آن ها را از روی ضرایب بدست آورد.

مجموع ریشه ها را با S و حاصل ضرب آن ها را با P نشان می دهیم:

S=x1+x2=−baP=x1x2=ca\begin{aligned} S=x_1+x_2&=-\frac{b}{a}\\ P=x_1x_2&=\frac{c}{a} \end{aligned}

مثلا در معادله ای که ابتدای مقاله بررسی شد، دو ریشه مقاله 1 و 3 بودند، پس مجموع آن ها 4 و حاصل ضرب آن ها 3 است.

نکته جالب این است که برعکس این نیز اتفاق می افتد. اگر مجموع و حاصل ضرب دو ریشه را بدانیم، می توانیم معادله ای درجه دوم بسازیم.

مثلا اگر دو ریشه برابر با 2 و 5 باشند، مجموع 7 و حاصل ضرب 10 است، بنابراین معادله مورد نظر چنین خواهد بود:

S=2+5=7P=2×5=10x2−7x+10=0\begin{aligned} S&=2+5=7\\ P&=2\times5=10\\ x^2-7x+10&=0 \end{aligned}
تفاوت تابع درجه دوم با معادله درجه دوم

تابع درجه دوم چیست و چه تفاوتی با معادله دارد؟

تا این جا به دنبال جواب معادله بودیم، اما در تابع درجه دوم می خواهیم بدانیم که با تغییر مقدار x، خروجی تابع چه تغییری می کند. تابع دقیقا یک قانون است که هر ورودی مجاز، می تواند دقیقا یک خروجی مشخص داشته باشد. شکل کلی تابع درجه دوم به شکل زیر است:

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)

تفاوت مهم بین تابع درجه دوم و معادله درجه دوم: در معادله درجه دوم کل عبارت را برابر با صفر قرار می دادیم و جواب راپیدا می کردیم. اما در تابع درجه دوم می توانیم مقدارهای مختلف x را وارد کنیم و خروجی متفاوت بگیریم.

تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=x2−4x+3f(0)=3f(1)=0f(3)=0\begin{aligned} f(x)&=x^2-4x+3\\ f(0)&=3\\ f(1)&=0\\ f(3)&=0 \end{aligned}

وقتی x را صفر بگیریم، خروجی تابع برابر با 3 است. وقتی x برابر با 1 یا 3 باشد، خروجی صفر می شود. به مقدارهایی از x که خروجی تابع را صفر می کنند، صفرهای تابع می گوییم. این صفرها همان ریشه های معادله درجه دوم متناظر هستند.

نمودار سهمی، راس و محور تقارن تابع درجه دوم

نمودارتابع درجه دوم خمیده است و سهمی نام دارد. اگر ضریب  a مثبت باشد  دهانه سهمی رو به بالا و نمودار یک نقطه کمینه دارد، به عبارت دیگر پایین ترین مقدار خود را دارد. اگر ضریب a منفی باشد، سهمی دهانه اش رو به پایین است و یک نقطه بیشینه دارد.

نقطه ای که سهمی در آن به بیشینه یا کمینه می رسد، راس سهمی نام دارد. خط عبوری از راس سهمی را محور تقارن می نامیم به این معنا که دو طرف سهمی نسبت به این خط قرینه هستند.

مختصات راس را از رابطه زیر محاسبه می کنیم:

xV=−b2a,yV=f(xV)x_V=-\frac{b}{2a},\qquad y_V=f(x_V)

حال به تابع برمی گردیم، اگر آن را به شکل مربع کامل بنویسیم خواهیم داشت:

f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1V=(2,−1)\begin{aligned} f(x)&=x^2-4x+3\\ &=(x-2)^2-1\\ V&=(2,-1) \end{aligned}

پس راس سهمی در نقطه (-1,2) قرار دارد و مقدار کمینه برابر با -1 است، دو ریشه 1 و 3 نیز در دو طرف محور تقارن هستند.

تشخیص ریشه های تابع درجه دوم با روش دلتا

تشخیص ریشه های تابع درجه دوم با دلتا

یک سهمی می تواند محور افقی را در دو نقطه قطع کند، در یک نقطه قطه کند یا این که اصلا قطع نکند. برای تشخیص تعداد ریشه های حقیقی از مقدار دلتا استفاده می کنیم:

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

اگر دلتا مثبت باشد، تابع دو صفر حقیقی متفات دارد. اگر صفر باشد، در یک نقطه به محور افقی می رسد و یک ریشه مضاعف وجود دارد. اگر دلتا منفی باشد، تابع هیچ صفر حقیقی ندارد.

کاربرد تابع در جه دوم در پیدا کردن بیشترین مقدار

اگر بخواهیم با 12 متر فنس یک باغچه مستطیلی را محصور کنیم. اگر یکی از ضلع ها x متر باشد، ضلع دیگر 6  منهای x متر خواهد بود. مساحت باغچه را می توان با یک تابع درجه دو نمایش داد:

A(x)=x(6−x)=−x2+6x=9−(x−3)2Amax⁡=9\begin{aligned} A(x)&=x(6-x)\\ &=-x^2+6x\\ &=9-(x-3)^2\\ A_{\max}&=9 \end{aligned}

همان طور که می بینید، مساحت به شکل 9 منهای یک مربع نوشته شده و مربع هم هیچ وقت منفی نمی شود، بیشترین مساحت ممکن 9 متر مربع خواهد بود، این اتفاق زمانی می افتد که هر دو ضلع باغچه 3 متر باشند.

در پایان شما را دعوت می کنیم تا در بخش تماس با ما در سایت مهندس امیر محمودزاده با ما در ارتباط باشید. تیم ایشان متشکل از مشاورانی حرفه ای برای مدرسه و کنکور هستند، همچنین تدریس های با کیفیت ایشان می تواند پایه خوبی را در سال یازدهم برای شما ایجاد کند.

معادله درجه دوم و تابع درجه ۲ یازدهم

سوالات متداول

معادله درجه دوم چیست؟

معادله‌ای است که بزرگ‌ترین توان متغیر آن ۲ باشد و ضریب جمله درجه دوم آن صفر نباشد.

تفاوت معادله درجه دوم و تابع درجه دوم چیست؟

در معادله درجه دوم، به دنبال مقدارهایی هستیم که عبارت را صفر می‌کنند؛ اما در تابع درجه دوم، خروجی را برای ورودی‌های مختلف بررسی می‌کنیم.

چگونه مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را پیدا کنیم؟

در معادله درجه دوم با ضرایب a و b و c، مجموع ریشه‌ها برابر با منفی b تقسیم بر a و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با c تقسیم بر a است.

از کجا بفهمیم سهمی بیشینه دارد یا کمینه؟

اگر ضریب جمله درجه دوم مثبت باشد، سهمی کمینه دارد. اگر این ضریب منفی باشد، سهمی بیشینه دارد.

ریشه‌های معادله درجه دوم چه ارتباطی با نمودار سهمی دارند؟

ریشه‌های حقیقی معادله همان مقدارهای x در نقاط برخورد سهمی با محور افقی هستند. سهمی ممکن است دو، یک یا هیچ نقطه برخوردی با این محور داشته باشد.

پرمخاطب
ثبت‌نام کلاس سالانه ریاضی

از مبانی تا تسلط مفهومی + رفع اشکال منظم

ثبت‌نام / مشاوره سریع
ویژه ارزیابی
ثبت‌نام آزمون استیلا (ریاضی)

محک استاندارد تحلیل و استدلال + گزارش شخصی

ورود به صفحه آزمون
تمرکز تست
دوره تست‌زنی ریاضی (Level Up)

زمان‌بندی، تکنیک حذف، مدیریت استرس

مشاهده جزئیات دوره
دیدگاه‌ها ۰
ارسال دیدگاه جدید

ارسال دیدگاه جدید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش های موردنیاز علامت گذاری شده اند *