آموزش ریاضی دوازدهم ۲۳ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۵ دقیقه

آموزش ماتریس و اعمال روی ماتریس‌ ها

فرض کنید که مدیر یک فست فود موفق هستید و می خواهید فروش دو محصول خود مثلا پیتزا و هات داگ را در روزهای مختلف بررسی و مقایسه کنید، به عنوان یک دانش آموز دوازدهم ریاضی احتمالا اولین راهکاری که به ذهنتان می رسد، رسم یک جدول است که در آن فروش این دو غذا را در روزهای مختلف بررسی کند. ماتریس هم ساختاری مشابه همین جدول فرضی دارد و به شما کمک می کند تا اعداد را مرتب کنید و محاسبات مختلفی روی آن انجام دهید. آموزش ماتریس و اعمال روی ماتریس ها هدف ما در این مقاله است.

فهرست محتوا پنهان

1 ماتریس چیست و چگونه نوشته می شود؟

2 انواع ماتریس در هندسه دوازدهم

3 نوشتن ماتریس از روی ضابطه

4 تساوی، جمع و تفریق ماتریس ها

5 ضرب یک عدد در ماتریس چگونه انجام می شود؟

6 ضرب دو ماتریس چگونه انجام می شود؟

7 خواص مهم اعمال روی ماتریس ها

8 ترانهاده و ماتریس متقارن چیست؟

9 سوالات متداول

ماتریس چیست و چگونه نوشته می شود؟

ماتریس، آرایشی مستطیلی از اعداد است که در قالب سطرها و ستون هایی قرار گرفته است. اعداد داخل ماتریس را درایه می نامیم. مثلا ماتریس زیر تعداد فروش دو محصول را در دو روز نشان می دهد:

A=\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}

سطر اول مربوط به روز اول و سطر دوم برای روز دوم است. هر ستون اطلاعات مربوط به یک ستون را نشان می دهد. این ماتریس دو سطر و دو ستون دارد، پس مرتبه آن2×2 است.

برای مشخص کردن مکان هر عدد ابتدا شماره سطر و سپس ستون را می نویسیم:

a_{12}=5

یعنی عدد 5 در سطر اول و ستون دوم قرار دارد. برای مشاهده بیشتر می توانید به ماتریس چیست؟ نیز مراجعه کنید تا این مبحث برایتان بیشتر جا بیفتد.

انواع ماتریس در هندسه دوازدهم

ماتریس ها بر اساس شکل و نوع درایه هایشان به شکل زیر دسته بندی می شوند:

ماتریس سطری: فقط یک سطر دارد.
ماتریس ستونی: فقط یک ستون دارد.
ماتریس مربعی: تعداد سطرها و ستون ها برابر است.
ماتریس صفر: تمام درایه های آن صفر هستند.
ماتریس قطری: مربعی است و تمام درایه های خارج از قطر اصلی آن صفر هستند.
ماتریس اسکالر: ماتریسی قطری که درایه های قطر اصلی آن برابر هستند.
ماتریس همانی: ماتریسی مربعی است که درایه های قطر اصلی آن یک و بقیه صفر هستند.

به عنوان مثال ماتریس های بالا به شکل زیر نوشته می شوند:

قطر اصلی از گوشه بالا سمت چپ شروع می شود و به گوشه پایین سمت راست ختم می شود.

نوشتن ماتریس از روی ضابطه

گاهی به جای این که مستقیما درایه ها را داشته باشیم، قانونی برای ساختن آن ها داریم. به عنوان مثال اگر هر درایه از جمع سطر و ستون خودش به دست بیاید، ماتریس 2×2 زیر ساخته می شود:

a_{ij}=i+j\qquad C=\begin{bmatrix}2&3\\3&4\end{bmatrix}

تساوی، جمع و تفریق ماتریس ها

دو ماتریس زمانی برابر هستند که مرتبه هایشان یکسان و درایه های متناظر آن ها با هم یکسان باشند. برای جمع و تفریق ماتریس ها باید مرتبه یکسان داشته باشند. سپس هر درایه را با درایه متناظرش جمع و یا تفریق می کنیم. دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

A=\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}

جمع و تفریق آن ها به صورت زیر است:

\begin{aligned}A+B&=\begin{bmatrix}4&7\\5&5\end{bmatrix}\\[6pt]A-B&=\begin{bmatrix}2&3\\-1&3\end{bmatrix}\end{aligned}

پس دقت کنید که نمی توانیم دو ماتریس را با تعداد سطرها و ستون های غیر یکسان جمع یا تفریق کنیم. برای تمرین بیشتر و درک بهتر این فصل به شرط جمع و تفریق دو ماتریس مراجعه کنید.

ضرب یک عدد در ماتریس چگونه انجام می شود؟

ضرب کردن یک عدد در ماتریس کاملا ساده است! کافی است عدد مورد نظر را در تک تک درایه های ماتریس ضرب کنید. مثلا اگر می خواهیم ماتریس اول را در 2 ضرب کنیم، داریم:

2A=2\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&10\\4&8\end{bmatrix}

مطابق چیزی که مشاهده کردید، مرتبه ماتریس تغییر نمی کند و فقط درایه ها عوض می شوند.

ضرب دو ماتریس چگونه انجام می شود؟

ضرب دو ماتریس کاملا داستانش با جمع و تفریق متفاوت است. برای آن که بتوانیم دو ماتریس را در هم ضرب کنیم، باید در ابتدا تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. در این حالت تعداد سطرهای جواب از ماتریس اول و تعداد ستون ها از ماتریس دوم گرفته می شود. روش محاسبه را اصطلاحا ضرب سطر در ستون می نامیم، مثلا حاصل ضرب دو ماتریس قبلی به شکل زیر است:

AB=\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}18&11\\14&8\end{bmatrix}

3\times1+5\times3=18

این جمله مهم را به خاطر بسپارید: سطر در ستون نظیر به نظیر با هم ضرب می شوند و جمع می شوند.

اگر در تشخیص سطر و ستون اشکال دارید، توصیه می کنم نمونه های حل شده از ضرب دو ماتریس را بررسی کنید.

خواص مهم اعمال روی ماتریس ها

جمع ماتریس ها خاصیت جا به جایی دارد، یعنی با تغییر ترتیب دو ماتریس حاصل جمع آن ها تغییر نمی کند. ماتریس صفر نیز همانند عدد صفر در جمع عمل می کند.

برای ماتریس های مربعی، ضرب در ماتریس همانی مانند ضرب در عدد یک است:

\begin{aligned}A+B&=B+A\\A+O&=A\\AI&=IA=A\end{aligned}

ضرب دو ماتریس در حالت کلی جا به جایی ندارد. مثال زیر را ببینید:

BA=\begin{bmatrix}7&13\\11&19\end{bmatrix}\neq AB

مشاهده می کنید که حاصل ضرب دو ماتریس با تغییر ترتیب آن ها تغییر کرد. پس نباید قوانین ضرب عادی را با ضرب ماتریس ها تعمیم بدهیم.

ترانهاده و ماتریس متقارن چیست؟

اگر سطرهای یک ماتریس را به ستون های آن تبدیل کنیم ترانهاده آن ساخته می شود. مثلا ترانهاده ماتریس اول به شکل زیر است:

A^T=\begin{bmatrix}3&2\\5&4\end{bmatrix}

اگر یک ماتریس مربعی با ترانهاده خودش برابر باشد، آن را ماتریس متقارن می نامیم.

S=\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\qquad S^T=S

در ماتریس متفاوت، درایه های دو طرف قطر اصلی نسبت به این قطر قرینه هستند و با هم برابر‌اند.

سال دوازدهم سالی سرنوشت ساز است، از این جهت که شما هم با امتحانات سال دوازدهم درگیر هستید و هم کنکور سراسری که باید درس های سال های دهم و یازدهم را نیز امتحان دهید. چانچه به دبیری مجرب و مشاورانی کارآزموده نیاز داشتید، در بخش تماس با ما با تیم مهندس امیر محمودزاده در ارتباط باشید.

سوالات متداول

1. ماتریس چیست و مرتبه آن چگونه مشخص می‌شود؟

ماتریس آرایشی مستطیلی از اعداد است که در سطرها و ستون‌ها قرار می‌گیرند. به هر عدد در ماتریس، درایه گفته می‌شود. مرتبه ماتریس با تعداد سطرها و ستون‌های آن مشخص می‌شود؛ برای مثال، ماتریسی با ۲ سطر و ۳ ستون دارای مرتبه ۲×۳ است.

2. شرط جمع و تفریق دو ماتریس چیست؟

برای جمع یا تفریق دو ماتریس، باید تعداد سطرها و ستون‌های آن‌ها یکسان باشد. در این صورت، درایه‌های متناظر را با یکدیگر جمع یا تفریق می‌کنیم. اگر مرتبه دو ماتریس متفاوت باشد، امکان جمع یا تفریق آن‌ها وجود ندارد.

3. ضرب دو ماتریس چگونه انجام می‌شود؟

برای ضرب دو ماتریس، تعداد ستون‌های ماتریس اول باید با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل ضرب با روش ضرب سطر در ستون محاسبه می‌شود. همچنین تعداد سطرهای ماتریس حاصل برابر با تعداد سطرهای ماتریس اول و تعداد ستون‌های آن برابر با تعداد ستون‌های ماتریس دوم است.

4. تفاوت ماتریس متقارن و ترانهاده ماتریس چیست؟

ترانهاده ماتریس از تبدیل سطرهای آن به ستون و ستون‌های آن به سطر به دست می‌آید. اما ماتریس متقارن نوعی ماتریس مربعی است که با ترانهاده خودش برابر است. در ماتریس متقارن، درایه‌های دو طرف قطر اصلی نسبت به این قطر قرینه و با یکدیگر برابر هستند.