آموزش ریاضی دوازدهم ۹ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۴ دقیقه

آموزش توابع چند جمله ای

آموزش توابع چند جمله ای

آموزش توابع چند جمله ای مفهوم جدیدی نیست، اگر در سال قبل با تابع خطی و سهمی آشنا شده باشید، یعنی توابع چند جمله ای را دیده اید. در درس اول از فصل اول در کتاب ریاضی دوازدهم تجربی با این نوع از تابع بیشتر آشنامی شویم. در این مطلب از مفهوم تابع شروع می کنیم و گام به گام به تشخیص نوع تابع می رسیم.

فهرست محتوا پنهان
1 تابع چند جمله ای چیست؟
2 درجه تابع چند جمله ای چیست؟
3 نمودارهای تابع درجه سوم
4 چه تابعی چند جمله ای نیست؟
5 یادگیری توابع چند جمله ای
6 سوالات متداول

تابع چند جمله ای چیست؟

تابع را دقیقا می توانیم مانند یک دستگاه یا یک ماشین تصور کنیم، که یک عدد را به عنوان ورودی به آن می دهیم و سپس عددی دیگری را که بر اساس یک قانون به وجود آمده را دریافت می کنیم. حالا اگر آن قانون از جمع و تفریق تشکیل شده باشد و متغیرها به توان اعداد صحیح نامنفی رسیده باشد، با یک تابع چند جمله ای طرف هستیم.

منظور از توان نامنفی و صحیح، توان هایی مثل صفر، یک، دو و سه است. در ریاضی شکل کلی توابع چند جمله ای به شکل زیر است:

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

در این رابطه، حرف های a ضرایب هستند، یعنی اعدادی که در توان های مختلف ضرب می شوند و n یک عدد صحیح نامنفی است. اگر ضریب بالاترین توان صفر نباشد، درجه تابع برابر با همان عدد خواهد بود. نکته مهمی که باید بدانید این است  که دامنه توابع چند جمله ای مجموعه اعداد حقیقی است. به بیان دیگر هر عدد حقیقی می تواند به جای متغیر قرار بگیرد.

درجه تابع چند جمله ای چیست؟

درجه تابع همان بزرگ ترین توان متغیر است، که بعد از ساده کردن ضریب غیر صفر دارد. برای یادگیری بیشتر موارد زیر که نمونه هایی از تابع چند جمله ای هستند را ببینید:

f0(x)=5f1(x)=2x+1f2(x)=x2−3f3(x)=x3−2x+1 \begin{aligned} f_0(x)&=5\\ f_1(x)&=2x+1\\ f_2(x)&=x^2-3\\ f_3(x)&=x^3-2x+1 \end{aligned}

تابع اول ثابت و درجه صفر است، تابع دومی خطی و درجه یک است، تابع سوم درجه دوم و تابع چهارم درجه سوم دارد. پس در نتیجه برای یافتن درجه تابع حتما نیاز نیست مقدار عددی را بدست آورید، همین که تابع را ساده کنید و بزرگ ترین توان باقی مانده رو پیدا کنید، درجه را یافته اید!

یک استثنا مهم: تابع صفر هم چند جمله ای است، اما درجه مشخص ندارد.

شما دانش آموز سال دوازدهم یا داوطلب کنکور هستید و احتمالا به مطالب پایه ای نیز در حین مطالعه فصول سال دوازدهم نیاز دارید، توصیه می کنیم تا مقاله فرمول های ریاضی دوازدهم تجربی را نیز مطالعه کنید.

آموزش توابع چند جمله ای

نمودارهای تابع درجه سوم

بعد از باز کردن کتاب ریاضی دوازدهم و بعد از مرور مفهوم تابع، توابع ثابت، خطی و درجه دوم، توابع درجه سوم آغاز می شوند که بزرگ ترین توان متغیر آن 3 است و ضریب آن صفر نیست. برای شناخت نمودار توابع درجه سوم از یک مثال ساده شروع می کنیم:

f(x)=x3 f(x)=x^3

حالا چند عدد را به جای متغیر قرار میدهیم و مقدار را حساب می کنیم:

f(−1)=−1f(0)=0f(1)=1 \begin{aligned} f(-1)&=-1\\ f(0)&=0\\ f(1)&=1 \end{aligned}

پس در نتیجه نمودار از نقطه مبدا می گذرد، در سمت چپ پایین تر از محور x ها و در سمت راست بالاتر از اون قرار می گیرد. نمودار این تابع حالتی خمیده مانند انگلیسی دارد. با تغییر ضابطه تابع می توان نمودار را حرکت داد و جا به جا کرد! مثلا نمودار زیر دو واحد به سمت راست و یک واحد به بالا منتقل می شود:

g(x)=(x−2)3+1 g(x)=(x-2)^3+1

این آشنایی اولیه شما با توابع درجه سوم در مبحث بعدی که توابع چند جمله ای است به یادگیری شما کمک خواهد کرد.

چه تابعی چند جمله ای نیست؟

هر عبارتی را که دیدید شبیه یک فرمول ریاضی است لزوما چند جمله ای نیست. برای چند جمله ای بودن متغیر باید یک عدد صحیح نامنفی باشد، پس در نتیجه اگر متغیری در مخرج کسر یا زیر رادیکال بود، می تواند این شرط را نقض کند.

به عنوان مثال توابع زیر چند جمله ای نیستند:

f(x)=1xg(x)=x f(x)=\frac{1}{x}\qquad g(x)=\sqrt{x}

در تابع اول توان متغیر منفی است و در تابع دوم نیز کسری است. و مهم تر از آن دامنه این دو تابع مانند توابع چند جمله ای برابر با تمام اعداد حقیقی نیست.

نمودار توابع درجه سوم

یادگیری توابع چند جمله ای

شناخت توابع چند جمله ای برای درک رفتار تابع در سال دوازدهم بسیار اهمیت دارد. در ادامه برای حل تمرین های بیشتر و یادگیری عمیق تر می توانید به سراغ مطلب یادگیری فصل اول ریاضی دوازدهم تجربی بروید.

اگر به یک دبیر مجرب نیاز دارید تا با تسلط کامل بر کتاب درسی یادگیری را برای شما جذاب تر کند، در بخش تماس با ما با تیم مجرب مهندس امیر محمودزاده در ارتباط باشید. تلاش برای موفقیت در کنکور و امتحانات نهایی از همین امروز آغاز می شود.

سوالات متداول

۱. تابع چندجمله‌ای چیست؟

تابع چندجمله‌ای تابعی است که از جمع و تفریق عبارت‌هایی با توان‌های صحیح و نامنفی متغیر تشکیل شده باشد. دامنه این توابع تمام اعداد حقیقی است.

۲. چگونه درجه یک تابع چندجمله‌ای را تشخیص دهیم؟

برای تشخیص درجه تابع، ابتدا عبارت را ساده می‌کنیم. سپس بزرگ‌ترین توان متغیر را که ضریب آن صفر نیست، پیدا می‌کنیم. این توان، درجه تابع چندجمله‌ای است.

۳. چه تابعی چندجمله‌ای نیست؟

تابعی که نتوان آن را به‌صورت مجموع جمله‌هایی با توان‌های صحیح و نامنفی متغیر نوشت، چندجمله‌ای نیست. برای مثال، تابعی که متغیر در مخرج کسر یا زیر رادیکال داشته باشد، معمولاً چندجمله‌ای نیست.

پرمخاطب
ثبت‌نام کلاس سالانه ریاضی

از مبانی تا تسلط مفهومی + رفع اشکال منظم

ثبت‌نام / مشاوره سریع
ویژه ارزیابی
ثبت‌نام آزمون استیلا (ریاضی)

محک استاندارد تحلیل و استدلال + گزارش شخصی

ورود به صفحه آزمون
تمرکز تست
دوره تست‌زنی ریاضی (Level Up)

زمان‌بندی، تکنیک حذف، مدیریت استرس

مشاهده جزئیات دوره
دیدگاه‌ها ۰
ارسال دیدگاه جدید

ارسال دیدگاه جدید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش های موردنیاز علامت گذاری شده اند *