آموزش ریاضی یازدهم ۲۹ مهر ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۴ دقیقه

آموزش هندسه تحلیلی ریاضی یازدهم تجربی: فرمول ها و مثال ها

کتاب ریاضی سال یازدهم تجربی با این درس آغاز می شود. در ساده ترین حالت اگر بخواهیم فاصله دو ساختمان را روی نقشه بدست بیارویم به هندسه تحلیلی نیاز داریم. هندسه تحلیلی یعنی استفاده از عدد و معادله برای بررسی نقطه ها، خط ها و شکل های هندسی.

شروع این مبحث معمولا با یک شکل، تشکیل شده از دو محور عمود بر هم است. محور xها همان محور افقی و محور yها همان محور عمودی است. همان طور که می دانید موقعیت هر نقطه را با دو عدد مشخص می کنیم که عدد اول موقعیت افقی یا طول و عدد دوم موقعیت عمودی یا عرض است. به موقعیت نقطه A دقت کنید:

A(3,2)

حال به سراغ خط ها می رویم تا با مختصات آن ها نیز آشنا شویم. همان طور که در مقاله تفاوت روش مطالعه دروس محاسباتی و تحلیلی، خواندید، تمامی مباحث ریاضی باید با حل تمرین مداوم همراه شوند تا به تدریج یادگیری شما عمیق تر شود، پس حتما بعد از مطالعه این مقاله اقدام به حل تست ها و تمرین ها کنید.

فهرست محتوا پنهان

1 شیب خط چیست؟ و چگونه محاسبه می شود؟

2 معادله خط چیست؟ و چگونه نوشته می شود؟

3 خطوط موازی و عمود در هندسه تحلیلی

4 فرمول فاصله دو نقطه در هندسه تحلیلی

5 مختصات نقطه وسط پاره خط چیست؟

6 فاصله نقطه از خط چگونه محاسبه می شود؟

7 سوالات متداول

شیب خط چیست؟ و چگونه محاسبه می شود؟

وقتی می گوییم شیب یک جاده از جاده دیگر بیشتر است منظورمان این است که جاده با شیب بیشتر از خط افق بالاتر از جاده دیگر رفته. در مختصات نیز همین است، شیب خط یعنی فاصله ای که یک خط راست از محور طول ها گرفته است. اگر مختصات دو نقطه را روی یک خط داشته باشیم، بوسیله طول ها و عرض های آن ها می توانیم شیب خط را محاسبه کنیم:

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

در این رابطه m همان شب خط و حروف A و B نشان دهنده همان دو نقطه روی خط هستند. دقت کنید که طول دو نقطه نباید برابر باشند، چون مخرج کسر را صفر می کنند که در ریاضی تعریف نشده است. شیب مثبت نشان دهنده حرکت صعودی و شیب منفی نشانه حرکت نزولی خط است.

معادله خط چیست؟ و چگونه نوشته می شود؟

تا این جا با شیب خط آشنا شدیم و در این جا می خواهیم یاد بگیریم که چگونه خط را به زبان ریاضی معرفی کنیم. معادله خط رابطه ای است که تمام نقاط روی یک خط را با هم مرتبط می کند. یکی از اشکال رایج معادله خط به شکل زیر است:

y=mx+b

در این معادله m شیب خط است و b عرض از مبدا است. عرض از مبدا مشخص می کند که خط محور عمودی را در چه نقطه ای قطع می کند. به مثال زیر دقت کنید:

y=3\qquad x=-2

دو حالت خاص را حتما به خاطر بسپارید، وقتی یک خط افقی است فقط عرض دارد و وقتی که یک خط عمودی است فقط طول دارد. خط افقی شیب صفر دارد ولی شیب برای خط عمودی تعریف نشده است.

خطوط موازی و عمود در هندسه تحلیلی

دو خط موازی تا ابد هم که ادامه پیدا کنند هم دیگر را قطع نمی کنند و دو خط عمود یک دیگر را با زاویه 90 درجه قطع می کنند. با کمک شیب خط می توانیم رابطه بین دو خط را تشخیص دهیم:

\begin{aligned} m_1=m_2&\quad\text{: خطوط با شیب برابر}\\[6pt] m_1m_2=-1&\quad\text{: خطوط عمود} \end{aligned}

فرمول فاصله دو نقطه در هندسه تحلیلی

حالا اگر دقیقا همانند مثال ابتدای مقاله دو نقطه روی نقشه داشته باشیم و بخواهیم فاصله مستقیم بین آن ها را محاسبه کنیم. اگر نقطه ها در یک راستای عمودی یا افقی باشند باید اختلاف مختصات مربوط را حساب کنیم. اما اگر نسبت به هم مایل باشند باید از فرمول فاصله دو نقطه استفاده کنیم.

فرمول فاصله دو نقطه:

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

مختصات نقطه وسط پاره خط چیست؟

فرض کنید که می خواهید دقیقا نقطه وسط فاصله بین دو نقطه را پیدا کنید، در هندسه به این نقطه، وسط پاره خط می گوییم. برای پیدا کردن این نقطه کافی است طول ها را با هم جمع و به دو تقسیم کنید و سپس همین کار را برای عرض ها نیز انجام دهید، دقیقا مطابق با فرمول زیر:

M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)

چنانچه به دنبال تسلط بیشتر روی مباحث پایه ای هستید، می توانید به ویدیوهای مقدماتی ریاضی یازدهم با تدریس مهندس امیر محمودزاده مراجعه کنید. با دیدن این ویدیوها خاطرتان از جهت پایه ریاضی برای سال یازدهم آسوده است.

فاصله نقطه از خط چگونه محاسبه می شود؟

فرض کنید در کنار یک جاده مستقیم می خواهیم یک استراحت گاه بین راهی بسازیم، برای پیدا کردن کوتاه ترین فاصله آن استراحت گاه تا جاده باید خطی عمود از مکان آن تا جاده رسم کنیم. در هندسه فاصله نقطه از خط همین مسیر عمود است. اگر معادله خط را به شکل زیر بنویسید، می توانید از فرمولی که در قسمت پایین آن قرار دارد استفاده کنید و فاصله نقطه از خط را بدست آورید:

\begin{gathered} ax+by+c=0\\[6pt] d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}

سوالات متداول

۱. در درس هندسه تحلیلی ریاضی یازدهم تجربی چه مباحثی آموزش داده می‌شود؟

در درس اول هندسه تحلیلی ریاضی یازدهم تجربی، مباحثی مانند شیب و معادله خط، خطوط موازی و عمود، فاصله دو نقطه، مختصات وسط پاره‌خط و فاصله نقطه از خط آموزش داده می‌شود.

۲. چگونه شیب یک خط را در هندسه تحلیلی محاسبه کنیم؟

برای محاسبه شیب خط، ابتدا مختصات دو نقطه روی آن را مشخص می‌کنیم. سپس اختلاف عرض‌های دو نقطه را بر اختلاف طول‌های آن‌ها تقسیم می‌کنیم. اگر خط عمودی باشد، شیب آن تعریف نشده است.

۳. تفاوت فاصله دو نقطه با فاصله نقطه از خط چیست؟

فاصله دو نقطه، طول پاره‌خط مستقیمی است که آن دو نقطه را به هم وصل می‌کند. اما فاصله نقطه از خط، کوتاه‌ترین فاصله آن نقطه تا خط است که همیشه در راستای عمود بر خط اندازه‌گیری می‌شود. برای محاسبه هرکدام فرمول جداگانه‌ای داریم.