کاربرد مشتق – اکسترمم نسبی و مطلق

مشتق يكی از مهمترين مباحث در رابطه با دروس رياضی خواهد بود كه در دوره متوسطه دوم دبيرستان در رشته های رياضی و تجربی به آن پرداخته شده است، شما با انتخاب دبير مناسب برای آموزش کاربرد مشتق می توانيد به راحتی سوالات كنكور مربوطه به آن را همانند آب خوردن حل كنيد، مشتق به صورت كلی به ديگر مباحث همانند انتگرال مربوط خواهد شد، و البته كه رايج است برای آموزش مشتق از نمودار تابعه ایی و علاوه بر آن از ترسيم ها هندسی كمك گيرند.( اگر شما دانش آموز هستيد و در حال خواندن اين مقاله، بهتر است كه قاعده هوپيتال سال يازدهم را با مشتق اشتباه نگيريد و البته كه می‌ توانيد با روش های مشتق می توانيد سوالات مربوط به قاعده هوپيتال هم حل كنيد)

کاربرد مشتق

كاربرد های مشتق: مشتق كاربرد های بسيار زيادی دارد كه در اين بخش به موارد محدود آن اشاره خواهيم كرد،‌توجه داشته باشيد كه كاربرد هآی نام برده شده به صورت موردی و البته محدود هستند:

پيدا كردن رابطه ی مشتق با روش های هندسی
به راحتی نوشتن يك معادله آسان با توجه به خط مماس و همانند ومنحی ا زوايای قائم
پيدا كردن نقاط اكسترمم تابع با توجه به راه حل های مشتق
پيدا كردن و تشخيص دادن راحت برای‌ توابع نزولی و صعودی

تعريف مشتق: در اين بخش به صورت ساده و به بيان رياضی آسان، مشتق را تعريف خواهيم كرد. اگر خطی همانند d را فرض كنيد؛ اكثر مواقع خط وارده بر نمودار از دو نقطه می ‌گذر كه ما نام آن ها را   B=(x0,f(x0)) و  A= (x ,f(x))  نام گذاری خواهيم كرد.

حال فرض كنيد تابع در x=x0    پيوسته باشد و البته كه با توجه داشتن به اين موضوع می‌ توانيد درك كنيد كه تابع a به تابع b نزديك خواهد شد.

مشتق های يكطرفه: يكی‌ از مهم ترين بخش ها‌ در رابطه با درس مشتق، مشتق های يكطرفه می باشد. مشتق های يكطرفه بيشتر شبيه به حل كردن سوالات فصل حد و پيوستگی است به صورتی كه شما بايد مشتق راست و مشتق چپ را محاسبه كنيد.( البته سوالات مشتق كمی ممكن است كه در طرح سوالات كنكور در رابطه با اين موضوع شما را اذيت كنند؛ با توجه داشتن به بخش های معنی مشتق می توانيد سوالات مربوطه به مشتق را حل كنيد، البته كه بهتر است بدانيد برخی از سوالات حد را می‌ توان با مشتق هم حل كرد، به عنوان مثال حالت مبهم و يا به اصطلاح صفر صفرم را می توان به راحتی حل كرد)

حال به نمودار بالا توجه فرماييد، شما بايد بخش منحنی شده كه با رنگ بنفش نشان داده شده را بررسی كنيد( c ) البته با محاسبه كردن خط مماس بر معادله می‌ توانيد مراحل زير را در راستای آن حل كنيد.

در نگاه اول شايدكمی گمراه شويد ولی بهتر است از نمدار در بخش های منحنی مانند به درستی مشتق گرفته و آن ها را با توجه به f ‘(c 1)  كه برابر شيب است می توانيد به راحتی آن را مد نظر داشته باشيد.
در نگاه اول بايد فكر حل كردن اين سوال با توجه به فرمول های هندسی و روش های هندسی كه در فصل1 يازدهم در يافتيد حل كنيد، با داشتن مختصات (c 1,f(c 1))  با داشتن اين اطلاعات می توانيد مسئله را حل كنيد.
فرمول های شتق:

انواعی‌ زيادی ه تعداد 18 فرمول برای مشتق در دروس رياضی دوره دوم متوسطه تعريف شده است كه هر يك از آن ها ممكن است در همه سوالات به شما كمك كند و بهتر است كه شما تمامی آن ها را فرا بگيرد.

كاربرد های بيشتر در رابطه با مشتق: تا به الان كاربرد های محدودی در رابطه با مشتق را فرا گرفته ايد، ولی در اين بخش به صورت عمومی برخی‌ از مباحث مهم در رابطه با كاربرد های مشتق را خواهيد فهميد، توجه داشته باشيد كه برخی‌ از آن ها را در لا به لای اين مقاله خوانده ايد:

تشخیص نقاط اکسترمم نسبی : اولين كاربرد اعظم مشتق در رابطه با تشخیص نقاط اکسترمم نسبی و البته نقاط بحرانی‌ می باشد، پس از اين بخش به صورت كلی اكسترمم تابع را برای شما توضيح خواهيم داد.
پيدا كردن نقطه عطف: برای پی بردن به نقط عطف بايد تعريف تقعر را يافت كرده باشيد، تقعر به معنای ساده نمودار های منحنی رو به پايين هستند كه هر گاه خطوط مماس آن را رسم كنيم در بالای خطوط منحنی قرار بگيرد و البته كه می گوییم جهت تقعر رو به پایین است و در بازه زمانی های مشخص مماس رسم شده، زیر منحنی قرار خواهد گرفت.
تشخيص دادن صعودی بودن و يا نزولی بودن با توجه به بررسی شرايط تابع در سوالات مبهم.
قاعده هوپيتال: بخشی از اين موضوع را در مقدمه ی مقاله عنوان كريم، قاعده هوپيتال موضوعی و مبحثی است كه در سال يازدهم در فصل 7 رياضی تجربی و رياضی خوانده ايد.

همچنین ببینید: محاسبه معادلات مثلثاتی

نكته : نقطه عطف نقطه ای خواهد بود که  باید در دامنه باشد و اندازه و جهت های  تقعر در آن تغيير داده خواهد شد ،  به عبارت دیگر علامت و نماد مشتق دوم  تابع ، قبل و بعد از نقطهٔ عطفش بر روی تابع تغییر آن چنانی‌ می كند كه در ن مان می گويند تغيير نمی كند. ازمثبت به منفی یا بالعکس؛ شرط دیگر نقطه عطف این است که تابع در آن دارای مماس می باشد.( يكی از شروط مهم برای نقطه عطف، دارا بودن نقطه مماس است. بدانيد كه موجود بودن نقطه عطف و مشتق دوم لزومی ندارد پی در پی باشند و به هم ديگر ربط آنچنانی‌ نخواهند داشت، به عبارتی مقدار آن صفر خواهد بود)

( در صورتی که دانش آموز کنکوری هستید مطلب تأثیر ریاضی در کنکور تجربی را هم بخوانید‌ )

اکسترمم نسبی و مطلق

اكسترمم های تابع: مقصود ما از اكسترمم های تابع دقيقا  ماکزیمم یا می نیمم نسبی تابع خواهد بود، قطعا با ماكسيمم و می نيمم در سال های دهم و يازدهم به خوبی آشنا شده ايد، ولی در اين بخش نسبی بودن هر يك از آن ها را شرح خواهيم داد:

مینیمم نسبی: تابعی را در ذهن خود تصور بفرماييد كه در نقطه x=c دارای مینیمم نسبی خواهد بود ولی همسايگان آن ها را بايد بررسی‌ كنيد، به عنوان مثال c( (a,b)) كه وجود داشته باشيد در نمودار ها به اين نتيجه خواهيد رسيد كه برای هر  x∈(a,b)  ،، :f(x) ≥ f(c)   داشته باشيم، قطعا به يك نتيجه بسيار بزرگی خواهيم رسيد كه در نقطه (f(c  از تمامی نقاط ايكس در مجاورت آن ها كمتر خواهد بود.

ماكسيمم نسبی: تابعی را در ذهن خود تصور كنيد كه در نقطه x=c دارای ماكسيسم نسبی باشد، همانند بخش قبلی بايد به اصطلاح عاميانه همسايگان آن را مورد بررسی قرار داد، c( (a,b)) كه اگر اين مورد وجود داشته باشيد به نتيجه ی f (x) ≤ f (c)  خواهيد رسيد، حالا در ادامه می توانيد عنوان كنيد كه (f(c نسبت به ديگر نقاط همانند اف ايكس بزرگتر خواهد بود.