آموزش ریاضی یازدهم ۶ آبان ۱۴۰۵ زمان خواندن: ۴ دقیقه

مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی

قبل از آن که مبحث مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی را آغاز کنیم، بهتر است تا با یک مثال فرضی شروع کنیم. فرض کنید شما روز اول 3 هزار تومان پس انداز می کنید، روز دوم 6 هزار تومن و روز سوم 9 هزار تومان، حال در روز دهم چقدر باید پس انداز کنید؟ طبیعتا جمع کردن این اعداد و ازقام دشوار و وقت گیر است. درس اول حسابان یازدهم به ما یاد می دهد که چطور بوسیله فرمول ها این موارد را سریع و اصولی محاسبه کنیم.

فهرست محتوا پنهان

1 مروری بر مبحث دنباله ها

2 مجموعه جملات دنباله حسابی چگونه بدست می اید؟

3 مجموع جملات دنباله هندسی چگونه محاسبه می شود؟

4 اشتباهات رایج در هنگام محاسبه مجموعه جملات دنباله

5 سوالات متداول

مروری بر مبحث دنباله ها

هر عدد یک جمله است و اگر این اعداد پشت سر هم با ترتیب مشخصی قرار بگیرند، یک دنباله خواهیم داشت. در دنباله حسابی از یک جمله تا جمله بعدی مقدار مشخصی به جمله قبلی اضافه یا از آن کم می شود. مثل 3،6، 9، 12. در دنباله هندسی هم هر جمله از ضرب جمله قبلی در عددی مشخص بدست می آید، مانند 2، 6، 18، 54.

در این جا تمرکز ما روی جملات بود و نه تمام ویژگی ها دنباله ها، اگر احساس می کنید که به اطلاعات بیشتری نیاز دارید، آموزش دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم را مطالعه نمایید. همان طور که می دانید ریاضی زنجیروار است و تا مطالب پیش نیاز را ندانید ممکن است با مشکل مواجه شوید.

مجموعه جملات دنباله حسابی چگونه بدست می اید؟

دنباله 3، 6، 9، 12 تا 30 را در نظر بگیرید. اگر اولین جمله و آخرین جمله را با هم جمع کنیم به 33 می رسیم. جمع جمله دوم یعنی 6 با جمله یکی مانده به آخر نیز 33 می شود! این اتفاق تساوی و شانسی نیست، بلکه دردنباله حسابی مجموعه جمله های قرینه از دو سر دنباله یکسان است. پس میانگین جمله اول و آخر را در تعداد ضرب می کنیم و فرمول مجموع جملات دنباله حسابی را بدست می اوریم:

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

اگر جملات اول و آخر را نداشتیم، آن را با استفاده از اختلاف ثابت جمله ها یعنی d حساب می کنیم:

a_n=a_1+(n-1)d

مجموع جملات دنباله هندسی چگونه محاسبه می شود؟

در این قسمت به دنبال 2، 6، 18، 54، 162 دقت کنید. اختلاف جملات ثابت نیست، اما هر عدد سه برابر جمله قبلی است. پس دنبال هندسی داریم و عدد 3 قدر نسبت آن است. یعنی همان عدد ثابتی که در جملات ضرب می شود. اگر مجموع را در قدر نسبت ضرب کنیم و دو عبارت را از هم کم کنیم، بعد از حذف شدن جمله های مشرک به این فرمول می رسیم:

S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}\qquad(r\neq1)

اشتباهات رایج در هنگام محاسبه مجموعه جملات دنباله

مهم ترین اتشباه تشخیص ندادن نوع دنباله است. شاید به نظر آسان بیاید اما گاهی همین اشتباه باعث حل غلط سوال می شود. دقت کنید که از یک جمله تا جمله بعدی مقدارجمع شده یا این که ضرب شده؟
شماره جمله را با مقدار جمله اشتباه نگیرید. در عبارت مجموع ده جمله اول، منظور از 10 تعداد جملات است و نه جمله دهم.
در دنباله هندسی به توان قدر نسبت و شرط یک نبودن آن دقت کنید.
یکی از اشتباهات رایج این است که دانش آموزان فقط مطالعه می کنند و سوال حل نمی کنند یا این که کم حل می کنند. بخشی از روش مطالعه حسابان یازدهم در کنکور و مدرسه، حل تست و تمرین است.

برای یادگیری عمیق تر برخی به دنبال بهترین کتاب های کمک درسی حسابان یازدهم می روند که باید گفت یگ کتاب خوب و سازگار با سطح آموزشی و سبک یادگیری شما بهتر از خریدن چندین کتاب کمک درسی است. کتاب های زیاد فقط استرس شما را افزایش خواهد داد.

اگر برای یادگیری مبحث مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی به دنبال بهترین و قوی ترین آموزش ها هستید، پیشنهاد می کنیم تا در بخش تماس با ما با تیم مهندس امیر محمودزاده در ارتباط باشید.

آموزش مجموع جملات دنباله های حسابی و هندسی

سوالات متداول

۱. تفاوت مجموع جملات دنباله حسابی و هندسی چیست؟

در دنباله حسابی، اختلاف بین جمله‌های متوالی ثابت است و برای محاسبه مجموع، از جمله اول، جمله آخر و تعداد جملات استفاده می‌کنیم. اما در دنباله هندسی، نسبت جمله‌های متوالی ثابت است و فرمول مجموع به جمله اول، قدر نسبت و تعداد جملات بستگی دارد.

۲. چگونه مجموع جملات دنباله حسابی را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه مجموع جملات دنباله حسابی، ابتدا جمله اول و آخر را با هم جمع می‌کنیم. سپس حاصل را در تعداد جملات ضرب کرده و بر ۲ تقسیم می‌کنیم. اگر جمله آخر مشخص نباشد، ابتدا آن را با استفاده از اختلاف ثابت دنباله به دست می‌آوریم.

۳. اگر قدر نسبت دنباله هندسی برابر ۱ باشد، مجموع جملات چگونه محاسبه می‌شود؟

وقتی قدر نسبت برابر ۱ باشد، تمام جملات دنباله هندسی با هم برابر هستند. بنابراین کافی است مقدار جمله اول را در تعداد جملات ضرب کنیم. برای مثال، مجموع پنج جمله اول دنباله ۳، ۳، ۳، ۳ و ۳ برابر ۱۵ است.