آموزش تابع نمایی در ریاضی

تابع نمایی به تابعی میگویند که متغیر آن در توان باشد، تابع نمایی گفته می شود و به شکل زیر نمایش داده می شود:

y=a^x

در نظر داشته باشید که در این رابطه a همیشه مثبت و مخالف صفر خواهد بود. همچنین دامنه تابع نمایی نیز شامل اعداد حقیقی می باشد و برد آن را اعداد صحیح مثبت تشکیل می دهند. مثل:

رسم نمودار تابع نمایی

به عنوان مثال به تابع زیر نگاه کنید:

اکنون در نظر داریم با استفاده از آموزش تابع نمایی، شکل تقریبی نمودار را رسم کنیم. بنابراین با توجه به روش نقطه یابی نمودار را ترسیم خواهیم کرد:

نکته: هرگاه a بزرگتر از یک باشد، نمودار صعودی خواهد بود:

a > 1

همان طور که مشاهده می کند محور y ها را در یک نقطه قطع می کند اما محور x ها را به هیچ عنوان قطع نمی کند.

همان طور که در بالا اشاره کردیم با استفاده روش نقطه یابی شروع به ترسیم نمودار می کنیم:

نکته: هرگاه a بین صفر و یک باشد، نمودار نزولی خواهد بود:

(0 < a < 1)

و همان گونه که مشاهده می کنید محور x ها را قطع نکرده اما باز هم در این حالت، محور y ها را در یک نقطه قطع می کند.

بطور کلی نمودار تابع نمایی می تواند به شکل های زیر باشد:

نکته: برای هر مرتبه رسم نمودار تابع نمایی، نیازی نیست که تعداد نقاط بیشماری را در نظر بگیرید. همان گونه که تا به اینجا از آموزش تابع نمایی یاد گرفته ایم، می توانیم با در نظر گرفتن سه نقطه و همچنین با توجه به آشنایی قبلی با نمودار های پایه، اقدام به رسم آنها می کنیم.

در صورتی که در بخش توابع جز صحیح نیز مشکل دارید اینجا کلیک کنید.

جهت استفاده از این روش بایستی مراحل زیر را انجام دهیم:

1. ال از همه باید ریشه توانی را پیدا کنیم.
2. عدد بدست آمده را جایگزین x می کنیم و y آن نقطه را مشخص می کنیم.
3. در آخر x و y بدست آمده را در وسط جدول می نویسیم و یک نقطه قبل و بعد x را جایگذاری می کنیم و y آن نقاط را نیز پیدا می کنیم.به عنوان مثال تابع نمایی y=2^(x-1) را در نظر بگیرید. ریشه توان x = 1 می باشد که به ازای x = 1، مقدار y نیز برابر با یک می شود.

همان گونه که در نمودار مشخص است، هر چقدر x ها به سمت منفی بی نهایت بروند، مقدار y به صفر نزدیک و نزدیک تر می شود اما هیچ گاه به صفر نمی رسد. بنابراین نتیجه می گیریم محور x ها را قطع نخواهد کرد و در کنار آن به سمت بی نهایت حرکت می کند. هنگامی که با مفهوم حد آشنا شوید متوجه می شوید که به این خط، خط مجانب گفته می شود و نمودار آن نیز به سمت بی نهایت خواهد رفت.

بررسی دقیق تر تابع نمایی

سؤالی که وجود دارد این است که آیا همیشه این خط، مجانب محور x ها خواهد بود؟ یادتان باشد که نمودار را می توان از طریق انتقال نیز رسم نمود. اما چگونه؟

تابع نمایی y=2^x  را در نظر بگیرید. ابتدا نمودار آن را رسم می کنیم:

همانطور که مشخص است x = 0 ریشه توانی است. طبق جدول بالا یکی از نقاط x منفی شده است. در نتیجه هنگام ترسیم نمودار آن را یک واحد به سمت راست حرکت می دهیم: y^x. در واقع به x ها یک واحد اضافه خواهد شد اما y ها بدون تغییر خواهند ماند:

یادتان باشد که همیشه راه نقطه یابی راحت تر و بهترین راه است. اکنون اگر بخواهیم نمودار تابع نمایی y=2^(x+1)  را به شیوه انتقال، رسم کنیم. بایستی نمودار را یک واحد به سمت راست نتقال دهیم. در نتیجه نمودار y=2^x  بدست خواهد آمد. که نمودار آن در بالا ترسیم شده است.

اما اگر تابع نمایی ما به صورت y=2^x+1 باشد، با توجه به شیوه انتقال، نمدار یک واحد به سمت بالا حرکت می کند. بنابراین در حالت های این چنینی، خط ترسیمی، مجانب محور x ها نخواهد بود و خط y = 1 می شود. به این دلیل که هر مقدار که به x بدهیم، هنگامی که به توان 2 برسید و با یک عدد جمع شود، همیشه مقدار آن تابع از یک بیشتر خواهد شد:

1	0	-1	x
3			y

بنابراین باید در رسم نمودار دقت به خرج دهید و به هیچ عنوان اجازه ندهید که نمودار از خط y = 1 پایین تر بیاید.

قرینه تابع نمایی

به تابع زیر دقت کنید:

پس نمودار دو تابع نیز بر اساس آنچه که گفته شد، نسبت به محور y ها قرینه یکدیگر می باشند:

اکنون به دو تابع زیر توجه کنید، به طوری که این دو تابع نسبت به محور x ها نسبت به یکدیگر قرینه هستند:

بنابراین نتیجه می گیریم، اگر x قرینه شود، نمودار نیز نسبت به محور y ها قرینه خواهد شد. اما اگر  قرینه شود، نمودار نسبت به محور x ها قرینه خواهد بود.

نکته: در مورد مقایسه دو عدد توان دار با پایه های برابر اگر پایه عدد بزرگتر از یک باشد، هرچه توان بیشتر باشد عدد بزرگتر است. چون در اصل نمودار توابع نمایی با پایه بزرگتر از یک، یک تابع صعودی است. یعنی هر چه x ها بیشتر می ‌شوند y‌ها نیز بزرگتر می ‌شوند.

اما یادتان باشد، زمانی که پایه، عددی بین صفر و یک باشد، نمودار، نزولی می شود. در واقع هر چه توان یا همان x بیشتر شود، y نیز کوچکتر خواهد شد. بنابراین:

نکته: توابع نمایی، توابع یک ه یک هستند. یعنی اینکه به ازای هر x، یک y و همچنین به ازای هر y، یک x، بدست خواهد آمد.

همچنین ببینید: هندسه یازدهم فصل اول

برای آموزش کامل تر و صفر تا صد ریاضی متوسطه اول و دوم به بخش تماس با ما مراجعه کنید تا در زمینه آموزش و یادگیری ریاضی با مشاوران ما مشورت کنید. مشاوران حرفه ای ما برای انواع سوالات از چگونه از صفر برای کنکور شروع کنیم؟ گرفته تا مکان مناسب برای درس خواندن در خدمت شما خواهند بود.

برای یادگیری بهتر می توانید از جزوه مکمل زیر نیز استفاده کنید:

سوالات متداول

تابع نمایی چیست و چه شکلی دارد؟

تابع نمایی تابعی است که متغیر در توان قرار می‌گیرد و معمولاً به صورت y = a^x نوشته می‌شود. در این تابع پایه باید مثبت و مخالف ۱ باشد. دامنه تابع نمایی همه اعداد حقیقی است و مقادیر خروجی آن همیشه مثبت هستند.

از کجا بفهمیم نمودار تابع نمایی صعودی است یا نزولی؟

اگر پایه تابع نمایی بزرگ‌تر از ۱ باشد، نمودار صعودی است؛ یعنی با افزایش x، مقدار تابع نیز بیشتر می‌شود. اما اگر پایه بین صفر و ۱ باشد، نمودار نزولی خواهد بود و با افزایش x، مقدار تابع کاهش پیدا می‌کند.

آیا نمودار تابع نمایی محور x را قطع می‌کند؟

نمودار پایه y = a^x محور x را قطع نمی‌کند، زیرا مقدار تابع هیچ‌وقت صفر نمی‌شود و فقط می‌تواند به صفر نزدیک شود. به همین دلیل در این حالت محور x یک مجانب افقی برای نمودار است. البته اگر تابع به صورت انتقال‌یافته باشد، مانند y = 2^x + 1، مجانب افقی نیز به همان اندازه جابه‌جا می‌شود.

برای رسم سریع نمودار تابع نمایی چه روشی مناسب‌تر است؟

برای رسم تقریبی تابع نمایی معمولاً نیازی به محاسبه تعداد زیادی نقطه نیست. می‌توان چند مقدار مناسب برای x انتخاب کرد، نقاط حاصل را روی دستگاه مختصات مشخص کرد و سپس با توجه به صعودی یا نزولی بودن تابع و محل مجانب، شکل کلی نمودار را رسم کرد. همچنین در توابع انتقال‌یافته باید جابه‌جایی نمودار به چپ، راست، بالا یا پایین را در نظر گرفت.