نمونه سوالات معادلات قدر مطلق
نمونه سوالات معادلات قدر مطلق یکی از راه ها افزایش تسلط در دروس قدرمطلق و حل مسائل قدرمطلقی می باشد.
آشنایی با سوالات قدر مطلقی باعث تقویت مهارت حل مسئله در دانش آموزان می شود. با توجه به اینکه مفهوم قدر مطلق ساختاری دو حالته دارد، معادلات قدرمطلقی می تواند ساختار دو جانبه داشته باشد، این دو حالت مجزا باعث می شود قدرت تحلیل و قویت مهارت حل مسئله می شود.
درک دقیق ساختار دو حالته معادلات قدرمطلقی، به ویژه زمانی که در قالب تمرین های هدفمند ارائه شوند، همان چیزی است که در آموزش تعیین علامت در ریاضی به آن توجه ویژه‌ای شده است.
کسب این مهارت باعث می شود که دانش آموزان با تمرکز بالا و قدرت تجزیه و تحلیل بالا به درک عمیق تری از مفاهیم برسند.
نوع دیگری از سوالات قدرمطلق علاوه بر معادلات برابری از نابرابری ها نیز سوالاتی مطرح می شوند که به عنوان نامعادلات قدرمطلقی شناخته می شوند.
حل نامعادلات قدرمطلقی معمولا چالش برانگیزتر و سخت تر از معادلات قدرمطلقی هستند، زیرا علاوه بر تشخیص و حل حالت های مختلفی که دارند، باید نواحی عددی و تفسیر درست بازه های پاسخ نیز بررسی شود.
بررسی دقیق نواحی پاسخ در نامعادلات قدرمطلقی، نوعی توانایی تجسم فضایی و تشخیص بازه های معتبر را می طلبد که مشابه آن را می توان در حل سوال هندسه مختصاتی (فاصله نقطه از خط) نیز مشاهده کرد.
این موضوع ذهن را در مهارت های بصری تقویت می کند و تحلیل مسائل پیچیده تر را تقویت می کند.
با توجه با حالت های مختلف معادلات و نامعادلات قدرمطلقی، حل نمونه سوالات قدر مطلق بسیار ضروری است و باعث تثبیت مفاهیم و تسلط هنگام مواجهه با سوالات کنکور می شود.
تسلط بر ساختار قدرمطلق، به ویژه در ترکیب آن با مفاهیم تابع، مسیری است که در کارگاه مبحث تابع (مقطع یازدهم) به صورت عمیق و تحلیلی طی می‌شود.
تمرینات معادلات قدر مطلق برای آمادگی امتحانات نهایی
تعریف قدر مطلق
قدر مطلق یک عدد، فاصلهٔ آن از صفر روی محور اعداد است و همیشه مقدار آن مثبت یا صفر است. به‌طور ریاضی:
اگر x ≥ 0، آنگاه:
|x| = xاگر x < 0، آنگاه:
|x| = -xبرای حل معادلاتی به شکل A| = B|، با توجه به مقدار B، دو حالت وجود دارد:
۱. اگر B منفی باشد (یعنی B < 0)، معادله هیچ جوابی ندارد، زیرا قدر مطلق نمی‌تواند منفی باشد.
۲. اگر B صفر یا مثبت باشد (یعنی B ≥ 0)، معادله به دو معادلهٔ مجزا تبدیل می‌شود:
A = B A = -Bسپس هر معادله را جداگانه حل می‌کنیم.
مثال‌های آموزشی
مثال 1: سطح ساده
سؤال: معادلهٔ |x - 3| = 5 را حل کنید.
حل:
با توجه به روش کلی:
- x - 3 = 5 ⇒ x = 8
- x - 3 = -5 ⇒ x = -2
پاسخ نهایی: x = 8 یا x = -2 ✅
مثال 2: سطح متوسط
سؤال: معادلهٔ |2x + 1| = 7 را حل کنید.
حل:
- 2x + 1 = 7 \;\Rightarrow\; 2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3
- 2x + 1 = -7 \;\Rightarrow\; 2x = -8 \;\Rightarrow\; x = -4
پاسخ نهایی: x = 3 یا x = -4 ✅
مثال 3: سطح متوسط با بررسی دامنه
سؤال: معادلهٔ |x + 2| = x - 4 را حل کنید.
حل:
ابتدا بررسی می‌کنیم که سمت راست معادله (یعنی x - 4) باید غیرمنفی باشد، زیرا قدر مطلق نمی‌تواند منفی باشد.
x - 4 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge 4حالا معادله را حل می‌کنیم:
- x + 2 = x - 4 ⇒ 2 = -4 → نادرست
- x + 2 = -(x - 4) ⇒ x + 2 = -x + 4 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
اما از شرط دامنه داریم x \ge 4، بنابراین x = 1 قابل قبول نیست.
پاسخ نهایی: هیچ جوابی ندارد ✅
مثال ۴: سطح سخت با دو قدر مطلقسؤال: معادله‌ی |x - 1| = |2x + 3| را حل کنید.
حل:
برای حل این معادله، باید به بررسی حالت‌های مختلف بپردازیم. نقاطی که عبارات داخل قدر مطلق صفر می‌شوند:
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} محور اعداد را به سه ناحیه تقسیم می‌کنیم:
۱. ناحیه‌ی x < -\frac{3}{2}
|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 |2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3 معادله: -x + 1 = -2x - 3 \Rightarrow x = 4 اما x = 4 در این ناحیه نیست → رد می‌شود.۲. ناحیه‌ی -\frac{3}{2} \le x < 1
|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 |2x + 3| = 2x + 3 معادله: -x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3} x = -\frac{2}{3} در این ناحیه است → قبول می‌شود.
۳. ناحیه‌ی x \ge 1
|x - 1| = x - 1 |2x + 3| = 2x + 3 معادله: x - 1 = 2x + 3 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4 x = -4 در این ناحیه نیست → رد می‌شود.
✅ پاسخ نهایی: x = -\frac{2}{3}
مثال 5: سطح سخت با قدر مطلق در دو طرف معادله
سؤال: معادلهٔ |x + 2| = |x - 5| را حل کنید.
حل:
این معادله زمانی برقرار است که:
- x + 2 = x - 5 ⇒ 2 = -5 → نادرست
- x + 2 = -(x - 5) ⇒ x + 2 = -x + 5 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \tfrac{3}{2}
پاسخ نهایی: x = \tfrac{3}{2} ✅
نمونه سوال نامعادله قدرمطلقی
نامعادلات قدرمطلقی یکی از مباحث مهم و کاربردی در ریاضیات دبیرستان، به ویژه در پایه دهم و سرفصل های کنکوری است. درک درست این نوع نامعادله ها می تواند نه تنها به موفقیت در امتحانات نهایی کمک کند، بلکه در آزمون هایی مانند کنکور سراسری نیز تاثیر بسزایی داشته باشد.
✅ سطح ساده ، سوال کنکوری مشابه
سؤال:حل کنید: |2x - 4| < 10
راه حل گام به گام:
۱. ابتدا قدرمطلق را به نابرابری دوطرفه تبدیل می‌کنیم:
-10 < 2x - 4 < 10 ۲. عدد ۴ را به همه طرف‌ها اضافه می‌کنیم:
-6 < 2x < 14 ۳. حالا بر ۲ تقسیم می‌کنیم:
-3 < x < 7 ✅ پاسخ نهایی: x \in (-3,\ 7)
سؤال:
حل کنید: |x + 2| \ge 5
گام به گام:
نابرابری قدرمطلقی از نوع |A| \ge B است. بنابراین به دو حالت تبدیل می‌شود:
x + 2 \ge 5 \quad \text{یا} \quad x + 2 \le -5 حل هر قسمت:
x + 2 \le -5 \Rightarrow x \le -7 x + 2 \ge 5 \Rightarrow x \ge 3 ✅ پاسخ نهایی: x \in (-\infty,\ -7] \cup [3,\ \infty)
✅ سطح متوسط، سوال برگرفته از امتحان نهایی
سؤال:حل کنید: |6 - 2x| \le 4
مراحل حل:
۱. بازنویسی به صورت نابرابری دوطرفه:
-4 \le 6 - 2x \le 4 ۲. از همه طرف عدد ۶ کم می‌کنیم:
-10 \le -2x \le -2 ۳. حالا بر عدد منفی ۲ تقسیم می‌کنیم (و جهت نابرابری را تغییر می‌دهیم):
5 \ge x \ge 1 \Rightarrow 1 \le x \le 5 ✅ پاسخ نهایی: x \in [1,\ 5]
سؤال:
حل کنید: |3x - 6| < 9
گام به گام:
این نامعادله از نوع |A| < B است:
-9 < 3x - 6 < 9 مرحله‌به‌مرحله:
• اضافه کردن ۶:
-3 < 3x < 15 • تقسیم بر ۳:
-1 < x < 5 ✅ پاسخ نهایی: x \in (-1,\ 5)
سؤال:
حل کنید: |x - \tfrac{1}{2}| \le \tfrac{3}{2}
گام به گام:
نوشتن نابرابری دوطرفه:
-\tfrac{3}{2} \le x - \tfrac{1}{2} \le \tfrac{3}{2} اضافه کردن \tfrac{1}{2} به هر طرف:
-1 \le x \le 2 ✅ پاسخ نهایی: x \in [-1,\ 2]
✅ سطح سخت، سوال ترکیبی کنکوری با دو قدر مطلق
سؤال:حل کنید: |x - 1| + |x - 2| \le 3
مرحله اول – تعیین نقاط بحرانی:
عبارت‌های داخل قدرمطلق در نقاط x = 1 و x = 2 صفر می‌شوند. بنابراین محور را به ۳ ناحیه تقسیم می‌کنیم:
ناحیه اول: x < 1
|x - 1| = 1 - x,\quad |x - 2| = 2 - x نامعادله: 1 - x + 2 - x \le 3 \Rightarrow 3 - 2x \le 3 -2x \le 0 \Rightarrow x \ge 0 محدوده مشترک:
x \in [0,\ 1)
ناحیه دوم: 1 \le x < 2
|x - 1| = x - 1,\quad |x - 2| = 2 - x نامعادله: x - 1 + 2 - x \le 3 \Rightarrow 1 \le 3 ✅ همیشه برقرار
پس: x \in [1,\ 2)
ناحیه سوم: x \ge 2
|x - 1| = x - 1,\quad |x - 2| = x - 2 نامعادله: x - 1 + x - 2 \le 3 \Rightarrow 2x - 3 \le 3 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3 محدوده مشترک:
x \in [2,\ 3]
✅ پاسخ نهایی: x \in [0,\ 3]
سؤال:
\left|\frac{x - 1}{x + 2}\right| \le 1
گام ۱: حذف قدر مطلق
طبق تعریف، اگر داشته باشیم: \left|\frac{A}{B}\right| \le C با C > 0 می‌توانیم بنویسیم:
-1 \le \frac{x - 1}{x + 2} \le 1
گام ۲: حل نامعادله دوطرفه
دو طرف را به صورت جداگانه بررسی می‌کنیم:
(الف) حل نامعادله اول:
\frac{x - 1}{x + 2} \le 1
ابتدا ۱ را به سمت چپ منتقل می‌کنیم:
\frac{x - 1}{x + 2} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \le 0 \Rightarrow \frac{-3}{x + 2} \le 0 چون صورت همیشه منفی است، باید مخرج مثبت باشد تا کسر \le 0 شود:
x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2
(ب) حل نامعادله دوم:
\frac{x - 1}{x + 2} \ge -1
این‌بار هم طرف راست را به طرف چپ منتقل می‌کنیم:
\frac{x - 1}{x + 2} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{x - 1 + x + 2}{x + 2} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x + 1}{x + 2} \ge 0 گام ۳: جدول تعیین علامت برای:
\frac{2x + 1}{x + 2} \ge 0
صفرهای صورت و مخرج را مشخص می‌کنیم:
صورت صفر می‌شود: 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5
مخرج صفر می‌شود: x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 ⛔ (نقطه ممنوع)
محور اعداد را بر اساس این دو عدد تقسیم می‌کنیم:
| بازه‌ها | x < -2 | -2 < x < -0.5 | x > -0.5 |
|---|---|---|---|
| 2x + 1 | منفی | منفی | مثبت |
| x + 2 | منفی | مثبت | مثبت |
| کل کسر | مثبت | منفی | مثبت |
شرط: کسر باید \ge 0 باشد.
پس:
x \in (-\infty,\ -2) \cup [-0.5,\ \infty)
گام ۴: گرفتن اشتراک دو جواب
• از بخش (الف):
x > -2
• از بخش (ب):
x \in (-\infty,\ -2) \cup [-0.5,\ \infty)
✅ اشتراک آن‌ها:
x \in [-0.5,\ \infty)
✅ پاسخ نهایی:
\boxed{x \in [-0.5,\ \infty)}
تفاوت معادلات و نامعادلات قدر مطلق و روش های حل آن ها
معادلات و نامعادلات قدرمطلقی از جمله مباحثی هستند که در امتحانات نهایی و کنکور سراسری به‌صورت مکرر دیده می‌شوند. برای بسیاری از دانش‌آموزان، شباهت ظاهری این دو نوع مسئله باعث می‌شود آن‌ها را با هم اشتباه بگیرند، اما در واقع روش حل و تفکر پشت هرکدام متفاوت است.
🔹 فرق اصلی بین معادله و نامعادله قدر مطلق
🔹 معادله قدرمطلقی یعنی دنبال عدد یا اعدادی می‌گردیم که مقدار قدرمطلق یک عبارت با عددی خاص برابر شود.مثال:
|x - 2| = 5
🔹 نامعادله قدرمطلقی یعنی به‌جای برابری، می‌خواهیم بفهمیم چه مقادیری از متغیر باعث می‌شود مقدار قدرمطلق کمتر یا بیشتر از عدد خاصی شود.
مثال:
|x - 2| \ge 5 \quad \text{یا} \quad |x - 2| < 5
تفاوت اصلی: در معادله، به دنبال مقدار دقیق هستیم؛ در نامعادله، به دنبال بازه‌ای از جواب‌ها.
جمع‌بندی تفاوت معادله و نامعادله قدر مطلق:
| ویژگی | معادلهٔ قدرمطلقی | نامعادله قدرمطلقی |
|---|---|---|
| نوع جواب | چند مقدار مشخص (ریشه) | یک بازه یا مجموعه‌ای از اعداد |
| روش حل | دو حالت برابر می‌سازیم | تبدیل به نابرابری دوطرفه یا دو شرط |
| هدف | یافتن مقدار دقیق | پیدا کردن بازه‌ای از مقادیر |
| ظاهر سؤال | = | \lt , \gt , \le , \ge |
| ابزار مهم | حل معادله خطی ساده | گاهی جدول تعیین علامت |
