حل معادلات گویا در مسائل کاربردی

حل معادلات گویا در مسائل کاربردی یکی از مباحث مهم در ریاضیات است که در آن ‌ها متغیر ها در مخرج کسر ها قرار می ‌گیرند. در اینجا به بررسی روش ‌های معادلات کسری و تبدیل مسائل توضیحی به معادلات ریاضی می ‌پردازیم تا بتوانیم به‌ راحتی مسائل را مدل ‌سازی و حل کنیم.

روش‌ های حل معادلات گویا در مسائل واقعی

در این ویدئو وارد تیپ دوم سوالات می شویم.

تیپ یک سوالات شامل معادلات گویا است و در آن هیچ پارامتری وجود ندارد.

تیپ دوم مربوط سوالاتی است که به صورت توضیحی و با فرمت فارسی مطرح می شوند.

اکثر افراد و داوطلبان در حل این نوع سوالات با مشکل مواجه می شوند. به این دلیل که نمی دانند چگونه باید این سوالات را به معادله ریاضی تبدیل کنند.

یکی از روش های مدل سازی مسائل با معادلات گویا، بهره گیری از فرمول های فیزیک است که در ویدئو نیز به آن اشاره شده است.

به عنوان مثال ما باید در مورد کارکرد کارگرها یا پر شدن یک مخزن معادله بنویسیم.

فرمول‌های فیزیک در ریاضیات

در حل این نوع سوالات از فرمول زیر استفاده می کنیم:

1. توان:

فرمول فیزیک در توان بیان می کند:

این فرمول بیان می کند که توان برابر است با کار انجام شده تقسیم بر زمان.

• نکته: در ریاضی برای استفاده از این فرمول کل کار انجام شده را برابر با 1 در نظر می گیریم.

به عنوان مثال به ما می گویند که یک کارگر به تنهایی یک کار را در 12 روز انجام می دهد، توان آن کارگر برابر با\frac{1}{12} خواهد بود.

2. مسافت طی شده:

فرمول دیگر فیزیک که در حل این تیپ سوالات از آن استفاده می کنیم:

این فرمول بیان می کند که مسافت طی شده برابر است با سرعت ضربدر زمان.

برای حل این نوع سوالات ریاضی این دو فرمول فیزیک را به خاطر بسپارید.

• نکته: اگر دو جسم یا دو شی در یک جهت حرکت کنند برای سرعت مجموع سرعت آن ها را محاسبه می کنیم.

مثال: اگر یک شخص بر روی قطار در حال حرکت باشد و جهت حرکت هر دو در یک جهت باشد، از دید ناظر بیرونی، سرعت شخص بر روی قطار برابر با مجموع سرعت قطار و شخص خواهد بود.

اما اگر در خلاف جهت یکدیگر حرکت کنند، اختلاف سرعت ها را محاسبه می کنیم.

نمونه سوال حل معادلات گویا

در حل معادلات گویا، شناخت دقیق عبارت ‌های جبری نقش کلیدی دارد. مطالعه عبارت ‌های جبری ریاضی دهم تجربی می ‌تواند به شما در ساده ‌سازی این معادلات کمک کند.

در راستای نکات گفته شده به سوال زیر توجه کنید:

پرنده ‌ای فاصله یک کیلومتری را در جهت موافق باد رفته و در جهت مخالف برگشته است. اگر سرعت باد 5 کیلومتر بر ساعت و مدت زمان رفت و برگشت 9 دقیقه باشد، سرعت پرنده در هوای آرام چند کیلومتر بر ساعت است؟

1.  12
2.  5/17
3.  5/13
4.  15

پاسخ:

صورت سوال بیان می کند که پرنده در جهت موافق باد شروع به حرکت کرده و در جهت مخالف برگشته است.

در این مثال، می‌ بینیم چگونه حل مسائل کسری در ریاضیات می ‌تواند مسیر پرنده را مدل ‌سازی کند.

پس سرعت رفت برابر با مجموع سرعت پرنده و باد است و سرعت برگشت برابر با اختلاف سرعت باد و پرنده است.

1. فرض ها:
سرعت پرنده در هوای آرام : v (کیلومتر بر ساعت)
سرعت باد : 5 کیلومتر بر ساعت
مدت زمان کل رفت و برگشت : 9 ساعت : \frac{9}{60} ساعت : \frac{3}{20} ساعت 
مسافت : 1 کیلومتر

با توجه به نکته ای که در فرمول توان بیان کردیم می توان در اینجا نیز به آن اشاره کرد و گفت که در این نوع سوالات مسافت طی شده را نیز برابر با 1 کیلومتر در نظر خواهیم گرفت.

2. سرعت موثر در رفت و برگشت:
در جهت موافق باد: 5+v
در جهت مخالف باد: 5-v

3. سرعت موثر در زمان رفت و برگشت: مجموع زمان های رفت و برگشت برابر با زمان کل است:

4. مخرج مشترک و حل معادله: ضرب طرفین:
20(v-5)+20(v+5)=3\left(v^2-25\right)
ساده سازی:
\begin{gathered} 20 v-100+20 v+100=3 v^2-75 \\ 40 v=3 v^2-75 \\ 3 v^2-40 v-75=0 \end{gathered}

6. حل معادله درجه دوم: از رابطه دلتا استفاده می کنیم:
\begin{gathered} \Delta=b^2-4 a c=(-40)^2-4(3)(-75) \\ \Delta=1600+900=2500 \end{gathered}
ریشه ها:
\begin{gathered} v=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{40 \pm 50}{6} \\ v_1=\frac{90}{6}=15, \quad v_2=\frac{-10}{6} \quad(\text { نامعتبر) } \end{gathered}

6. جواب نهایی: 15 کیلومتر بر ساعت

اگر به دنبال تمرین ‌های بیشتر در زمینه حل معادلات کسری هستید، بخش حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی می‌تواند کمک‌کننده باشد.

شما با مراجعه به حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل می توانید به صورت مفصل و با بیان روش صحیح، حل معادلات را آموزش ببینید.

برای درک بهتر نحوه ارتباط دنباله‌ های حسابی و هندسی با معادلات کسری، پیشنهاد می ‌کنیم دنباله ‌های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی را مطالعه کنید.

حل معادلات گویا در مسائل کاربردی، مهارتی کلیدی در ریاضیات است که نه تنها در مسائل تئوری بلکه در مدل ‌سازی و حل مشکلات واقعی نیز به کار می‌ آید. استفاده از فرمول‌ های فیزیک مانند توان و مسافت طی شده، ابزار موثری برای تبدیل مسائل توضیحی به معادلات ریاضی فراهم می‌ کند.