مطالب آموزشی ۱۳ آذر ۱۴۰۳ زمان خواندن: ۸ دقیقه

حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی

حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی یکی از موضوعات چالش ‌برانگیز و پرکاربرد است که درک عمیق آن برای موفقیت در این پایه ضروری به نظر می‌ رسد. این معادلات شامل کسر هایی هستند که صورت و مخرج آن‌ ها چند جمله‌ ای است و حل آن‌ ها نیازمند تسلط بر روش ‌های خاصی همچون پیدا کردن مخرج مشترک، ساده‌سازی، و بررسی مقادیر مجاز می‌ باشد.

اگر این سوال برای شما پیش می آید که من باید با چه ترتیبی این مطالب ریاضی را بخوانم و معادلات گویا بهتر است در چه زمانی مطالعه شود ترتیب مطالعه مباحث ریاضی برای کنکور تجربی راهنمای جامعی برای شما در این مسیر است.

عبارت گویا چیست؟

معادلات گویا به معادلاتی گفته می شود در آن ها یک یا چند عبارت گویا وجود دارند. این عبارت های گویا به کسر های گفته می شود که صورت و مخرج آن ها چند جمله ای هستند یا به عبارت دیگر، معادلات گویا در واقع کسر هایی هستند که در آن ها متغیر هایی در مخرج نیز وجود دارد.

نمونه هایی از عبارت های گویا را در زیر مشاهده می کنید.

\frac{x+3}{x-2}

$\frac{2 x^2-5 x+3}{x^2-4}$
دامنه عبارت های گویا
نکته: در یک عبارت گویا مقادیری از متغیر که باعث صفر شدن مخرج می شوند، در دامنه عبارت های گویا تعریف نمی شوند.
$\text { دامنه }=\mathbb{R}-\{x \mid Q(x)=0\}$ در این فرمول، $Q(x)$ نمایانگر مخرج عبارت گویا است و مقادیری که باعث صفر شدن آن می شود یا به عبارت دیگر ریشه های مخرج در دامنه آن تعریف نمی شود. در چند مثال زیر می توانید نحوه محاسبه دامنه عبارت های گویا را مشاهده کنید.
مثال 1)
$\frac{x+2}{x-3}$
حل:
$\text { 1. مخرج: } \text Q(x)=x-3$
$\text { 2. صفر شدن مخرج: } x-3=0 \Rightarrow x=3$
$\begin{aligned} &\text { 3. دامنه: }\\ &\mathbb{R}-\{3\} \end{aligned}$
مثال 2)
$\frac{2 x^2-5}{x^2-9}$
حل:
$\text { 1. مخرج: } \text Q(x)=x^2 - 9$
$\begin{aligned} &\text { 2. صفر شدن مخرج: }\\ &x^2-9=0 \Rightarrow(x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3 s x=-3 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\text { 3. دامنه: }\\ &\mathbb{R}-\{-3,3\} \end{aligned}$
مثال 3)
$\frac{x+1}{x^2+4 x+4}$
حل:
$\text { 1. مخرج: } Q(x)=x^2+4 x+4$
$\begin{aligned} &\text { 2. صفر شدن مخرج: }\\ &x^2+4 x+4=(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\text { 3. دامنه: }\\ &\mathbb{R}-\{-2\} \end{aligned}$
مثال 4)
$\frac{1}{x^2-x-6}$
حل:
$\text { 1. مخرج: } Q(x)=x^2-x-6$
$\begin{aligned} &\text { 2. صفر شدن مخرج: }\\ &x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=3 s x=-2 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\text { 3. دامنه: }\\ &\mathbb{R}-\{-2,3\} \end{aligned}$
مراحل حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی
معادلاتی که از عبارت های گویا ساخته شده باشند، معادلات گویا می گوییم و برای حل این معادلات گویا در اولین مرحله باید:
دامنه متغیر عبارت گویا را تعیین کنیم؛ یعنی تمامی مقادیر متغیر که باعث صفر شدن مخرج ها می شود را مشخص می کنیم.
این مقادیر را باید از دامنه حذف کنیم، زیرا معادله در این مقادیر تعریف نمی شود.
کوچک ترین مضرب مشترک (ک.م.م) تمام مخرج ها را پیدا می کنیم و هر دو طرف معادله را در این ک.م.م ضرب می کنیم تا مخرج ها حذف شوند.
معادله جدید به دست آمده را به شکل استاندارد تبدیل می کنیم
معادله ساده شده به روش های معمول (مانند تجزیه، استفاده از فرمول درجه دوم یا انتقال جمله ها) حل می کنیم.
اگر مطالعه این مباحث در امتحانات نهایی نیز برای شما مطرح است چگونه ریاضی را برای امتحان نهایی بخوانیم پاسخی کامل و جامع به سوالات شما در این زمینه می دهد.
چند مثال زیر نمونه از حل کردن انواع معادلات گویا را تشریح می کند.
مثال1)
$\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x+3}$
مراحل حل:
دامنه:
$x \neq 1, x \neq-3$
حذف مخرج:
هر دو طرف را در $x-3$ ضرب می کنیم: $x+1=2(x-3)$
ساده سازی:
$x+1=2 x-6 \Rightarrow x=7$
بررسی دامنه:
$x=7$ را در دامنه قرار دهید.
جواب نهایی:
$x=7$
مثال 2)
$\frac{x}{x+1}=\frac{2}{x-2}$
مراحل حل:
دامنه:
$x-2=0 \Rightarrow x \neq 2, x+1=0 \Rightarrow x \neq-1$
حذف مخرج:
$\begin{aligned} & (x+1)(x-2)=\text { ک.م.م } \\ & x(x-2)=2(x+1) \end{aligned}$
ساده سازی:
$x^2-2 x=2 x+2 \Rightarrow x^2-4 x-2=0$
حل معادله درجه دوم:
$\begin{gathered} x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} \Rightarrow x=\frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} \\ x=2 \pm \sqrt{5} \end{gathered}$
بررسی دامنه: مقدار $x=2$ حذف می شود.
جواب نهایی:
$x=2+\sqrt{5}, x=2-\sqrt{5}$
مثال 3)
$\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=1$
دامنه:
$x \neq-1, x \neq 0$
حذف مخرج:
$\begin{array}{r} x(x+1)=\text { ک.م.م } \\ \frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3 x}{x(x+1)}=\frac{x(x+1)}{x(x+1)} \\ 2(x+1)+3 x=x(x+1) \end{array}$
ساده سازی:
$2 x+2+3 x=x^2+x \Rightarrow x^2-4 x-2=0$
حل: مشابه مثال قبل حل می شود.
جواب نهایی:
$x=2+\sqrt{5}, x=2-\sqrt{5}$
یک استراتژی برای حل معادلات گویا
معادلات گویا بخشی از مباحث ریاضی هستند که شامل کسر هایی با صورت و مخرج چند جمله‌ ای می ‌شوند. حل این معادلات می ‌تواند چالش ‌برانگیز باشد، به ‌ویژه زمانی که شامل مخرج‌ های پیچیده هستند. در این مقاله، استراتژی ‌های مرحله ‌به ‌مرحله برای ساده‌ سازی و حل معادلات گویا ارائه می ‌شود تا دانش‌ آموزان با روشی ساختارمند بتوانند این مسائل را حل کنند.
تحلیل دامنه و تعیین مقادیر غیرمجاز:
چرا مهم است؟
مقادیری که مخرج کسر را سفر می کنند، از دامنه معادله حذف می شوند.
روش اجرا:
مخرج تمام کسرها را برابر صفر قرار می دهیم تا مقادیر غیر مجاز را بشناسیم.
2. یافتن ک.م.م مخرج ها:
چرا مهم است؟
ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک) مخرج‌ها به شما اجازه می‌دهد مخرج‌های معادله را حذف کنید و معادله را ساده‌تر کنید.
روش اجرا:
۱. مخرج تمام کسرها را تجزیه کنید.
۲.کوچک ‌ترین مضرب مشترک را بیابید.
۳. هر دو طرف معادله را در ک.م.م ضرب کنید.
       3. تبدیل معادله به یک چند جمله ای:
چرا مهم است؟
حذف مخرج‌ها باعث می‌شود معادله به یک معادله خطی یا درجه دوم تبدیل شود که حل آن ساده‌تر است.
روش اجرا:
با ضرب در ک.م.م، معادله ‌ای بدون مخرج به‌ دست آورید و ساده‌ سازی کنید.
4. حل معادله چند جمله ای:
چرا مهم است؟
معادله ساده‌شده را می‌توان با روش‌های معمول حل معادلات چندجمله‌ای (مانند تجزیه، فرمول درجه دوم، یا انتقال جمله‌ها) حل کرد.
بسته به درجه معادله:
معادلات خطی: انتقال جمله‌ها و حل ساده.
معادلات درجه دوم: استفاده از فرمول یا تجزیه.
5. بررسی پاسخ‌ها با توجه به دامنه:
چرا مهم است؟
ممکن است برخی از جواب‌ها، مقادیر غیرمجاز باشند و باید حذف شوند.
روش اجرا:
هر جواب را در مخرج‌های اولیه بررسی کنید. اگر مخرج صفر شود، آن مقدار را از جواب‌های نهایی حذف کنید.
چالش‌های رایج در حل معادلات گویا و راهکارهای رفع آن‌ها
فراموش کردن شرط دامنه
·    دانش‌آموزان اغلب مقادیر غیرمجاز (که باعث صفر شدن مخرج می‌شوند) را فراموش می‌کنند، که این می‌تواند منجر به ارائه پاسخ‌های نادرست شود.
·   راهکار:
در ابتدای حل معادله، مخرج‌های تمامی عبارت‌ها را بررسی کنید.
مقادیری که مخرج را صفر می‌کنند مشخص کرده و از دامنه حذف کنید.
هنگام ارائه جواب نهایی، این مقادیر را بررسی کنید.
2. پیدا نکردن ک.م.م درست برای مخرج‌ها
دانش‌آموزان ممکن است کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) مخرج‌ها را اشتباه پیدا کنند، که باعث خطا در حذف مخرج‌ها می‌شود.
راهکار:
مخرج‌ها را به صورت تجزیه‌شده بنویسید
$\left(x^2-4)=(x-2)(x+2)\right.$
تمامی عوامل مشترک و غیرمشترک را در نظر بگیرید.
ک.م.م را دقیقاً بر اساس عوامل تجزیه‌شده محاسبه کنید.
3. ساده‌سازی نادرست صورت و مخرج
مشکل:
هنگام ساده‌سازی عبارت‌ها، ممکن است برخی عوامل مشترک نادیده گرفته شوند یا حذف اشتباه انجام شود.
راهکار:
صورت و مخرج هر عبارت را به‌صورت کامل تجزیه کنید.
عوامل مشترک را به دقت شناسایی و حذف کنید
مطمئن شوید که حذف عوامل فقط زمانی انجام می‌شود که مقدار آن صفر نشود.
4. اشتباه در ضرب طرفین در ک.م.م
·   مشکل:
هنگام ضرب طرفین معادله در ک.م.م، دانش‌آموزان ممکن است برخی عبارت‌ها را فراموش کنند یا به اشتباه ضرب کنند.
·   راهکار:
کل معادله را در ک.م.م ضرب کنید، نه فقط یک طرف.
تمامی جملات داخل معادله (حتی جملات مستقل از کسرها) را در ک.م.م ضرب کنید.
بعد از ضرب، معادله را بررسی کنید تا عبارت‌های حذف‌شده درست باشند.
5. بررسی نکردن جواب‌ها
·   مشکل:
پس از حل معادله، ممکن است جواب‌هایی ارائه شوند که در دامنه تعریف‌شده نیستند.
·   راهکار:
جواب‌های به‌دست‌آمده را در دامنه بررسی کنید.
اگر یکی از جواب‌ها مخرج را صفر می‌کند، آن را حذف کنید.
فقط مقادیری را به‌عنوان جواب نهایی گزارش دهید که در دامنه تعریف‌شده باشند.
نکته)
همیشه دامنه را در نظر بگیرید و مقادیر غیرمجاز را در انتها بررسی کنید.
استفاده از تجزیه و ک.م.م فرآیند حذف مخرج‌ها را ساده‌تر می‌کند.
پس از حل معادله، جواب‌ها را به دقت بررسی کنید تا مقادیر نادرست حذف شوند.
مسائل پیچیده را به گام‌های کوچک‌تر تقسیم کنید تا حل آن‌ها آسان‌تر شود.
تمامی مسائل گفته شده می تواند با دسترسی به یک منبع آموزشی مناسب در مورد آموزش ریاضی کنکور رفع شود تا شما نه تنها در معادلات گویا بلکه در سایر مباحث ریاضی به تسلط کافی برسید.
مثال‌های کاربردی از حل معادلات گویا
مثال 1) معادله زیر را حل کنید.
$\frac{x+2}{x-3}-\frac{3}{x+4}=\frac{x}{x^2+x-12}$
راهکار حل:
تعیین دامنه:
$\begin{aligned} & \text { مخرج ها: } x^2+x-12=(x-3)(x+4), x+4, x-4 \\ & x \neq 3, x \neq-4 \text { دامنه } \end{aligned}$
ک.م.م مخرج ها:
$=(x-3)(x+4)$ ک.م.م
حذف مخرج ها
ضرب کل معادله در $:(x-3)(x+4)$
$(x+2)(x+4)-3(x-3)=x$
ساده سازی:
$x^2+6 x+8-3 x+9=x \quad \Rightarrow \quad x^2+3 x+17=0$
حل معادله:
معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول حل معادله درجه دوم حل کنید و جواب‌ها را با دامنه بررسی کنید.
مثال 2) 500 کیلوگرم آب نمک با غلظت 6 درصد داریم. اگر 10 کیلوگرم نمک به آن اضافه کنیم، برای اینکه غلظت آب نمک به 9 درصد برسد، چقدر آب باید از محلول تبخیر کنیم؟
راهکار حل:
وزن کل محلول اولیه: 500 کیلوگرم
مقدار نمک در محلول اولیه: $\text { كیلوگرم } 30 \text { = } 500 \text { × } 0.06$
نمک اضافه شده: $30 + 10 = 40 کیلوگرم$
وزن نهایی محلول را x بگیریم:
$\frac{40}{x}=0.09$
حل معادله برای یافتن x.
مثال 3) اگر نسبت دو عدد برابر با $\frac{x}{x+3}$ و نسبت دیگری برابر با $\frac{x-2}{x+1}$ باشد، مقدار $x$ را بیابید.
$\frac{x}{x+3}=\frac{x-2}{x+1}$
راهکار حل:
ضرب طرفین در مخرج‌ها:
$(x)(x+1)=(x-2)(x+3)$
حل معادله درجه دوم و بررسی دامنه.
مثال 4)
$\frac{x^2}{x+1}=x+3$
راهکار حل:
دامنه: $x \neq-1$
حذف مخرج ها: ضرب طرفین در : $x+1$
ساده سازی: $x^2=x^2+4 x+3 \quad \Rightarrow \quad 4 x+3=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{3}{4}$
بررسی دامنه: $x=-\frac{3}{4}$ مجاز است.
جواب: $x=-\frac{3}{4}$
جمع بندی
اگر به دنبال یک جمع بندی خوب از پایه یازدهم هستید دوره سالیانه یازدهم رشته تجربی و ریاضی پیشنهاد ماست.
با مراجعه به این دوره شما می توانید یکی از بهترین منابع جمع بندی را داشته باشید تا آموزشی صحیح از مباحث مختلف پایه یازدهم نیز شامل شما شود.
معادلات گویا، یکی از مباحث مهم و کاربردی ریاضی یازدهم تجربی هستند که شامل کسر هایی با صورت و مخرج چند جمله‌ای ‌اند. درک صحیح این معادلات نیازمند توجه به دامنه تعریف، محاسبه ک.م.م مخرج‌ها، و ساده‌سازی دقیق است.
برای تسلط بر این مبحث، تمرین مداوم و حل مثال‌ های متنوع ضروری است. حل مسائل مرتبط با غلظت محلول‌ها، نسبت‌ها، و معادلات چندجمله ‌ای نمونه‌ هایی از کاربرد این معادلات در مسائل واقعی و ریاضی هستند. با پیروی از روش‌های مرحله‌ به‌ مرحله و رفع اشتباهات رایج، می ‌توان این معادلات را به ‌درستی و با اطمینان حل کرد.