حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل

حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل یکی از روش ‌های کاربردی و موثر در حل مسائل ریاضی است که با تبدیل معادله به فرم مربع کامل، یافتن پاسخ ‌ها را ساده  ‌تر می‌کند. این روش، در کنار دیگر روش ‌های حل معادلات درجه دوم، مانند استفاده از فرمول دلتا برای یافتن ریشه ‌ها، رویکرد های هندسی برای درک بصری معادلات، و روش تجزیه برای ساده ‌سازی معادله، مورد توجه قرار دارد. همچنین، امروزه می ‌توان با ابزار های آنلاین یا نرم ‌افزار هایی مانند matlab به ‌راحتی معادلات درجه دوم را حل کرد و نتایج دقیقی به دست آورد.

در پایان، جمع‌ بندی مختصری ارائه خواهد شد و به سوالات رایج درباره حل معادلات درجه دوم پاسخ داده می‌ شود تا هرگونه ابهامی برطرف شود. این راهنما برای دانش‌ آموزان، دانشجویان، و تمامی علاقه‌ مندان به یادگیری ریاضیات نوشته شده است و به‌عنوان یک منبع جامع و مفید عمل خواهد کرد.

کنکور ریاضی چگونه است؟ نیز می تواند یکی از سوالات شما برای بررسی دقیق مباحث کنکور باشد.

در این خصوص اگر زمان کمی تا روز آزمون برای شما باقی مانده است بهترین روش مطالعه کنکور در زمان کم ویژه شما تهیه شده است تا جهت کاهش استرس شما مفید واقع شود.

حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل

حل معادلات درجه دوم به روش مربع کامل یکی از راه های کاربردی برای پیدا کردن ریشه های این نوع معادلات است. در زیر با مراحل حل معادله درجه دوم به روش مربع کامل آشنا خواهید شد.

برای یادگیری بهتر هر کدام از این روش ها منبع آموزشی در خصوص آموزش ریاضی کنکور در اختیار شما قرار گرفته است تا پاسخ سوالات خود را به راحتی پیدا کنید.

مراحل حل معادله درجه دوم به روش مربع کامل

• استاندارد سازی معادله

در ابتدا باید معادله را به فرم استاندارد a x^2+b x+c=0   تبدیل کنیم.

• تقسیم بر ضریب a:

پس از ساده سازی فرم معادله باید ضریب x^2   برابر با یک باشد و در غیر اینصورت باید تمام جملات معادله را بر ضریب x^2   تقسیم کنیم تا برابر با یک شود.

• انتقال جمله ثابت به سمت راست معادله:

در این مرحله باید جمله ثابت c را به سمت دیگر معادله منتقل کنیم.

• ایجاد مربع کامل:

باید ضریب x را نصف کنیم و سپس به توان دو برسانیم و به هر دو طرف معادله اضافه کنیم.

• تبدیل به اتحاد مربع کامل:

اکنون سمت چپ معادله را می توانید به فرم مربع دو جمله ای (x+d)^2   بنویسید.

• جذرگیری از دو طرف معادله:

برای رسیدن به مقدار x+d   از هر دو طرف معادله جذر می گیریم.

• حل برای x:

مقدار d را از هر دو طرف معادله کم می کنیم تا x به دست آید.

مثال:

معادله زیر x^2+6 x+5=0 را در نظر بگیرید.
ابتدا متوجه خواهیم شد که معادله به فرم استاندارد است و ضریب x^2  برابر با ۱ می باشد.
در ادامه جمله ثابت 5 را به سمت راست معادله منتقل می کنیم و خواهیم داشت: x^2+6 x=-5
سپس ضریب x که عدد 6 است را نصف و به توان 2 می رسانیم: (6 / 2)^2=9
عدد به دست آمده یعنی 9 را به هر دو طرف معادله اضافه می کنیم. x^2+6 x+9=-5+9
اکنون سمت چپ معادله را می توان به صورت مربع کامل نوشت و خواهیم داشت: (x+3)^2=4
اکنون با جذر گرفتن از هر دو طرف معادله به ادامه حل معادله می پردازیم: x+3= \pm 2
دو مقدار به دست آمده برای x داریم: x=-5, x=-1

حل معادله درجه دوم به روش دلتا و گرفتن ریشه

حل معادلات درجه دوم به روش دلتا یکی از روش ‌های استاندارد و کارآمد برای یافتن ریشه ‌های این معادلات است. این روش با استفاده از محاسبه مقداری به نام دلتا (Δ) تعیین می ‌کند که معادله چند ریشه حقیقی یا مختلط دارد و سپس ریشه‌ ها را محاسبه می ‌کند.

الگو و دنباله یکی دیگر از مباحث پایه درس ریاضی است که یادگیری آن می تواند از چالش های دانش آموزان باشد در این راستا حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم به عنوان یک تمرین برای تقویت این درس برای شما تهیه شده است.

در نظر داشته باشید که فرم کلی یک معادله درجه 2 به صورت است:

a x^2+b x+c=0

در ادامه با فرمول گفته شده مقدار دلتا را محاسبه می کنیم:

\Delta=b^2-4 a c

• اگر دلتا بزرگتر از صفر و عددی مثبت باشد؛ این معادله درجه دوم دو ریشه حقیقی و مجزا دارد.
• اگر دلتا برابر با صفر شود؛ معادله فقط یک ریشه حقیقی مضاعف (دو ریشه یکسان) دارد.
• اگر دلتا منفی شود؛ معادله درجه 2 ریشه های مختلط (غیرحقیقی) دارد.

پس از محاسبه دلتا و مقدار آن می توانید با استفاده از فرمول زیر ریشه های معادله را محاسبه کنید.

فرمول کلی ریشه ها:

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}
علامت \pm   نشان دهنده دو مقدار است که این مقدار یکبار با جمع و بار دیگر با تفریق به دست می آید.

مثال:

معادله 2 x^2+5 x-3=0 را حل کنید.

محاسبه دلتا:

\Delta=b^2-4 a c=5^2-4 \times 2 \times(-3)=25+24=49

چون دلتا بزگتر از صفر است، معادله دو ریشه حقیقی و مجزا دارد.

محاسبه ریشه ها:

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2}=\frac{-5 \pm 7}{4}
x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=0.5
x_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3

شیوه مطالعه هر درس برای کنکور و امتحانات نهایی متفاوت است در این خصوص برای آگاهی بیشتر شما درباره نحوه مطالعه برای کنکور و سوال احتمالی چگونه ریاضی را برای امتحان نهایی بخوانیم مطالبی آماده کرده ایم تا برنامه ریزی هدفمندی داشته باشید.

حل معادله درجه دو به صورت آنلاین و یا استفاده از برنامه  matlab

روش دیگری نیز برای حل معادلات درجه دوم استفاده می شود.

 برای حل معادلات درجه دوم می‌توانید از ابزارهای آنلاین یا نرم‌ افزار هایی مانند متلب  (MATLAB)  استفاده کنید.

بسیاری از سایت ها وجود دارند که امکان حل معادلات درجه دوم را به صورت آنلاین فراهم می کنند. 

به عنوان مثال سایت با حساب یکی از سایت هایی که این امکان را فراهم کرده است.

شما باد دادن ضرایب معادله به فرم کلی مشخص شده برای معادله در سایت و سپس با کلیک بر روی محاسبه می توانید ریشه های معادله را داشته باشید.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از متلب  (MATLAB) :

متلب یک نرم‌افزار قدرتمند برای محاسبات عددی و حل معادلات است. یکی از قابلیت ‌های مهم این نرم ‌افزار، حل معادلات ریاضی مثل معادلات درجه دو است.

فرم کلی معادله درجه دو به صورت زیر است:

a x^2+b x+c=0

یک معادله درجه 2 است.

• a  : ضریب x^2 است.
• b  : ضریب x  است.
• c  : عدد ثابت است.

هدف ما از حل معادلات درجه دوم پیدا کردن مقادیری برای x است که این معادله صفر می کند.

برای حل معادله درجه دو در متلب، باید مراحل زیر را دنبال کنید.

ابتدا متلب را باز می کنیم و کد بالا کپی کرده و سپس ذخیره می کنیم.

فایل را اجرا می کنیم و ضرایب a ،b و c وارد می کنیم.

در نهایت ریشه ها در Command Window نمایش داده خواهند شد. 

حل معادله درجه دو به صورت هندسی

حل معادله درجه دوم به روش هندسی یکی از روش هایی است که با ترسیم نمودار و تحلیل نقاط تقاطع این نمودار ها می توان ریشه های معادله را به دست آورد.

در این روش ابتدا معادله را به صورت فرم استاندارد می نویسیم:

a x^2+b x+c=0
در ادامه با تعریف تابع y به صورت y=a x^2+b x+c می توان نمودار این تابع را رسم کرد.

رسم نمودار تابع درجه دوم:

نمودار تابع درجه دوم به صورت یک سهمی است که با توجه به ضریب a می توان رو به بالا یا پایین باشد.

اگر a بزرگ تر از صفر باشد دهانه سهمی رو به بالا و اگر a کوچک تر از صفر باشد دهانه سهمی رو به پایین خواهد بود.

تعیین نقاط تقاطع با محور x :

نقاطی که در آن ها y=0 است، همان ریشه های معادله هستند. این نقاط محل تقاطع نمودار سهمی با محور x هستند.

تحلیل هندسی:

اکنون می توانیم نمودار مورد نظر را تحلیل کنیم.

دو ریشه حقیقی متمایز:  اگر نمودار سهمی محور x  را در دو نقطه متمایز قطع کند، معادله دو ریشه حقیقی دارد.

یک ریشه حقیقی مضاعف: اگر نمودار سهمی مماس بر محور x باشدمعادله یک ریشه حقیقی مضاعف دارد.

بدون ریشه حقیقی: اگر سهمی محور x را قطع نکند، معادله ریشه حقیقی ندارد و ریشه‌ها مختلط هستند.

حل معادله درجه دو به روش تجزیه

یکی از روش های سریع برای یافتن ریشه های معادله است.

در این روش، معادله به دو پرانتز یا دو عبارت خطی تجزیه می‌شود که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر صفر است.

مفهوم کلی روش تجزیه

فرم استاندارد معادله درجه دو به صورت زیر است:

a x^2+b x+c=0

هدف از روش تجزیه تبدیل این عبارت به صورت ضرب دو عبارت خطی است:

\left(a_1 x+b_1\right)\left(a_2 x+b_2\right)=0

سپس، با استفاده از قانون صفر بودن حاصل‌ضرب:

a_1 x+b_1=0 \quad, \quad a_2 x+b_2=0

ریشه ها به دست می آیند.

مراحل حل معادله درجه دو به روش تجزیه:

استاندارد سازی معادله

معادله به فرم استاندارد تبدیل کنید.

a x^2+b x+c=0

تجزیه عدد ثابت

ضریب x^2 سپس باید دو عدد پیدا کنید که حاصل ضرب آن ها برابر با  باشد.
سپس باید دو عدد پیدا کنید که حاصل ضرب آن ها برابر با a \cdot c باشد.

مجموع این دو عدد باید برابر با ضریب b نیز باشد.

نوشتن مجدد جمله میانی با توجه به اعداد به دست آمده.

عبارات را به دو گروه تقسیم کنید و از هر گروه، فاکتور مشترک را خارج کنید.

هر یک از دو عبارت خطی را جداگانه حل کنید تا مقادیر x (ریشه‌های معادله) به دست آید.

مثال:

معادله زیر را حل کنید.

x^2+5 x+6=0

فرم معادله از قبل به صورت استاندارد است.

پیدا کردن دو عددی که حاصل ضرب آن ها 6 و مجموعشان 5 باشد. 

عدد ثابت . a \cdot c=1 \cdot 6=6

این دو عدد 2 و 3 هستند.

بازنویسی جمله میانی:

x^2+5 x+6=x^2+2 x+3 x+6

فاکتور گیری:

x(x+2)+3(x+2)=0
(x+2)(x+3)=0

حل عبارات خطی:

x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2
x+3=0 \quad \Rightarrow \quad x=-3

این روش زمانی کارآمد است که بتوان معادله را به راحتی تجزیه کرد. اگر پیدا کردن دو عدد مناسب مشکل باشد، ممکن است نیاز به استفاده از روش‌ های دیگر (مانند دلتا) داشته باشید.

دسته بندی این آموزش به گونه ای است تا شما در خصوص خلاصه نویسی ریاضی کنکور نیز راحت باشید و دسته بندی مناسبی در اختیار شما قرار بگیرد.

حل نمونه سوال معادلات درجه دو

در ادامه، پنج نمونه سؤال از معادلات درجه دو ارائه شده که با روش‌های مختلف حل شده‌اند.

مثال 1)

معادله:

x^2+6 x+5=0

انتقال جمله به سمت راست:

x^2+6 x=-5

نیمه ضریب x را به توان دو می رسانیم.

(6 / 2)^2=9

اضافه کردن 9 به دو طرف معادله:

x^2+6 x+9=4

تبدیل معادله به صورت مربع کامل:

(x+3)^2=4

جذر گیری از دو طرف:

x+3= \pm 2

محاسبه ریشه ها:

x=-3+2=-1 \quad, \quad x=-3-2=-5

ریشه ها:

x=-1, x=-5

مثال 2)

معادله :

2 x^2-4 x-6=0

حل :

محاسبه دلتا:

\Delta=b^2-4 a c=(-4)^2-4(2)(-6)=16+48=64

استفاده از فرمول کلی:

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}

جایگذاری مقادیر:

x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(2)}=\frac{4 \pm 8}{4}

محاسبه ریشه ها:

x_1=\frac{4+8}{4}=3, \quad x_2=\frac{4-8}{4}=-1

ریشه ها:

x=3, x=-1

مثال 3)

معادله:

x^2+5 x+6=0

حل:

پیدا کردن دو عدد که حاصل جمعشان 5 و حاصل ضربشان 6 باشد:

2 \times 3=6, \quad 2+3=5

تجزیه عبارت میانی:

x^2+2 x+3 x+6=0

گروه بندی و فاکتور گیری:

x(x+2)+3(x+2)=0

فاکتورگیری نهایی:

(x+2)(x+3)=0

محاسبه ریشه ها:

x+2=0 \Rightarrow x=-2, \quad x+3=0 \Rightarrow x=-3

ریشه ها:

x=-2, x=-3

مثال4)

معادله:

x^2-4=0

حل:

نوشتن معادله به صورت: y=x^2-4
y=(x-2)(x+2)

رسم نمودار سهمی:

سهمی رو به بالا است .(a=1)
نقاط تقاطع با محور x جایی است که y=0

حل معادله:

x^2-4=0 \Rightarrow(x-2)(x+2)=0

محاسبه ریشه ها:

x=2, x=-2

ریشه ها:

x=2, x=-2

مثال 5)

معادله:

x^2-6 x+9=0

حل:

شناسایی مربع کامل:

x^2-6 x+9=(x-3)^2

بازنویسی معادله:

(x-3)^2=0

جذرگیری:

x-3=0

محاسبه ریشه:

x=3

ریشه:

x=3 (ریشه مضاعف)

جمع بندی

در انتها جهت آگاهی درباره ترتیب مطالعه مباحث ریاضی برای کنکور تجربی می توانید برنامه ریزی دقیق تری جهت انتخاب زمان مناسب برای مطالعه این مبحث در نظر بگیرید.

در زیر می توانید خلاصه ای از تمامی مطالب گفته شده را مشاهده کنید.

روش	توضیحات
روش مربع کامل	معادله با تبدیل به فرم مربع کامل حل می‌شود. شامل مراحل استانداردسازی، انتقال جمله ثابت، ایجاد مربع کامل و جذرگیری برای یافتن ریشه‌ها است.
روش دلتا	با محاسبه دلتا تعیین می‌شود که معادله چند ریشه حقیقی یا مختلط دارد. ریشه‌ها با استفاده از فرمول کلی و بسته به مقدار دلتا (مثبت، صفر یا منفی) محاسبه می‌شوند.
روش هندسی	با ترسیم نمودار سهمی تابع معادله و تحلیل نقاط تقاطع با محور x، ریشه‌های حقیقی تعیین می‌شوند. سهمی رو به بالا یا پایین بسته به ضریب a مشخص می‌شود.
روش تجزیه	معادله به دو عبارت خطی تجزیه می‌شود و سپس با صفر قراردادن هر عبارت، ریشه‌ها پیدا می‌شوند. مناسب برای معادلاتی که به‌راحتی تجزیه می‌شوند.
ابزارهای آنلاین و MATLAB	معادلات با واردکردن ضرایب در سایت‌ها یا استفاده از نرم‌افزار MATLAB حل می‌شوند. MATLAB از کدهایی برای دریافت ضرایب و محاسبه ریشه‌ها استفاده می‌کند.