تست های منتخب ریاضی دهم برای کنکور تجربی
تست های منتخب ریاضی دهم برای کنکور تجربی، زمانی که به صورت طبقه بندی شده در اختیار شما قرار بگیرد می تواند تاثیر بسیاری در میزان تسلط شما و تثبیت مطالب داشته باشد.
یادگیری این مباحث از ابتدا به صورت اصولی همراه با تمرین و تکرار جهت تثبیت می تواند قدرت تحلیل و مهارت حل مسئله شما را تقویت کند.
تسلط بر حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم در پایه دهم می تواند زمینه ساز تسلط بیشتر شما بر سایر مباحث ریاضی شود.
در پایه یازدهم با توجه به اینکه مباحث پایه اهمیت زیادی دارند تسلط بر مفاهیم الگو و دنباله ها باعث می شوند که ذهن برای ساختارهای عددی تقویت شود و در ادامه توان های گویا و عبارت های جبری با توجه به پیچیدگی هایی که دارد قدرت تحلیل را افزایش می دهد و هر کدام نیز قابلیت ترکیب شدن با سایر مباحث را نیز دارند.
یادگیری عبارت های جبری باعث می شود در ادامه هنگام مطالعه معادله و نامعادله ها که مبحثی پیشرفته تر است، یادگیری بهتر انجام شود.
مهندس امیر محمودزاده تواسنته به عنوان یک مدرس با تجربه در ریاضی کنکور با سنجش همه جانبه انواع دوره های مورد نیاز در آموزش ریاضیات پایه را در اختیار دانش آموزان قرار دهد.
تابع نیز فصلی است که مفاهیم مقدماتی آن در پایه دهم و یازدهم بسیار اهمیت دارد، زیرا مبحثی است که قابلیت ترکیب شدن با بسیاری از مباحث دیگر را دارد و بدون تسلط در آن در ادامه با مشکل مواجه می شویم.
توابع با بیان قوانین مربوطه باعث شکل گیری منطق ریاضی و پیش بردن تابع‌ها در مسیر درست می شود.
تسلط بر مباحث توابع در پایه یازدهم، به ویژه با استفاده از کارگاه مبحث تابع(مقطع یازدهم)، می تواند زمینه ساز تسلط بیشتر شما بر سایر مباحث ریاضی شود.
در نهایت، در پایه یازدهم با مثلثات آشنا می شویم، که یکی از مهم ترین دروس پایه ای در ریاضی است.
این فصل نیازمند تمرین هدفمند و دقیق است، چرا که ترکیب روابط زاویه ای و اتحاد ها با تحلیل نموداری، چالش های مهمی برای داوطلب ایجاد می کند.
در ادامه، تسلط بر مثلثات با استفاده از کارگاه مبحث مثلثات(ویژه کنکور) باعث افزایش قدرت تحلیل شما در مباحث پیچیده تر خواهد شد.
این مجموعه تست های ارائه شده با پوشش مباحث متنوع و تمرکز بر رویکرد های تحلیلی، دانش‌آموز را گام به گام به مهارتی می رساند که نه تنها برای کنکور، بلکه برای فهم عمیق ریاضیات پایه ضروری است.
فصل اول، تست های منتخب الگو و دنباله
سؤال ۱ ✅
در یک دنبالهٔ حسابی، جمله‌های دوم و هفتم به‌ترتیب برابر ۸ و ۳۳ هستند. قدر نسبت و جملهٔ اول را بیابید.
حل مرحله به مرحله:
۱. فرمول جملهٔ nام در دنباله حسابی:
a_n = a_1 + (n - 1)d
۲. طبق صورت سؤال:
• جملهٔ دوم:
a_2 = a_1 + d = 8 \tag{1}
• جملهٔ هفتم:
a_7 = a_1 + 6d = 23 \tag{2}
۳. از معادله (۱):
a_1 = 8 - d \tag{3}
۴. جای‌گذاری معادله (۳) در معادله (۲):
8 - d + 6d = 23 \Rightarrow 8 + 5d = 23 \Rightarrow 5d = 15 \Rightarrow d = 3
۵. جای‌گذاری در معادله (۱):
a_1 + 3 = 8 \Rightarrow a_1 = 5
✅ پاسخ نهایی:
جملهٔ اول: a_1 = 5
قدر نسبت: d = 3
سؤال ۲ ✅
در یک دنباله هندسی، جمله سوم برابر ۴۸ و جمله پنجم برابر ۷۶۸ است. جملهٔ اول و قدر نسبت را بیابید.
حل مرحله به مرحله:
۱. فرمول جملهٔ nام در دنباله هندسی:
a_n = a \cdot r^{n - 1}
۲. طبق صورت سؤال:
• جمله سوم:
a_3 = a \cdot r^2 = 48 \tag{1}
• جمله پنجم:
a_5 = a \cdot r^4 = 768 \tag{2}
۳. تقسیم معادله (۲) بر معادله (۱):
\frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} = \frac{768}{48} \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = \pm 4
(در کنکور معمولاً r > 0 در نظر گرفته می‌شود، پس r = 4 )
۴. جای‌گذاری در معادله (۱):
a \cdot 4^2 = 48 \Rightarrow 16a = 48 \Rightarrow a = 3
✅ پاسخ نهایی:
جملهٔ اول: a = 3
قدر نسبت: r = 4
سؤال ۳ ✅
اعداد x, y, z سه جمله متوالی یک دنبالهٔ هندسی هستند. دنبالهٔ x, 3y, 5z حسابی است. مقدار |xz| را بیابید.
حل:
۱. چون دنباله هندسی است:
y = xr,\quad z = xr^2
۲. چون دنباله حسابی است:
3y - x = 5z - 3y
۳. جای‌گذاری:
3xr - x = 5xr^2 - 3xr
۴. ساده‌سازی:
x(3r - 1) = x(5r^2 - 3r) \Rightarrow 3r - 1 = 5r^2 - 3r
۵. حل معادله درجه ۲:
5r^2 - 6r + 1 = 0 \Rightarrow r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10} \Rightarrow r = 1,\ \frac{1}{5}
۶. چون دنباله باید نابرابر باشد:
r = \frac{1}{5}
۷. بنابراین:
xz = x \cdot z = x \cdot xr^2 = x^2 \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = \frac{x^2}{25}
۸. انتخاب عدد مناسب: اگر x = 5 باشد:
xz = \frac{25}{25} = 1 \Rightarrow |xz| = 1
✅ پاسخ نهایی:
\left\lfloor xz \right\rfloor = 1
سؤال ۴ ✅
در یک دنبالهٔ حسابی، مجموع پنج جملهٔ اول برابر ۱۰ و مجموع پنج جمله بعدی برابر ۳۵ است. قدر نسبت را بیابید.
حل:
۱. فرمول مجموع n جمله اول دنباله حسابی:
S_n = \frac{n}{2} \cdot \left(2a_1 + (n - 1)d\right)
۲. از صورت سؤال:
S_5 = 10 \Rightarrow \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 10 \Rightarrow 2a_1 + 4d = 4 \tag{1}
S_{10} = 45 \Rightarrow \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 45 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 9 \tag{2}
۳. حل دستگاه معادلات (۲) و (۱):
(2a_1 + 9d) - (2a_1 + 4d) = 9 - 4 \Rightarrow 5d = 5 \Rightarrow d = 1
✅ پاسخ نهایی:
d = 1
سؤال ۵ ✅
مجموع ۸ جملهٔ اول یک دنبالهٔ هندسی برابر ۲۵۵ است و قدر نسبت آن ۲ است. جمله اول را بیابید.
حل:
۱. فرمول مجموع دنباله هندسی:
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \ne 1
۲. جای‌گذاری داده‌ها:
S_8 = a \cdot \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = a \cdot \frac{1 - 256}{-1} = a \cdot 255
۳. حل:
a \cdot 255 = 255 \Rightarrow a = 1
✅ پاسخ نهایی:
a = 1
فصل دوم، تست های کنکور سراسری از مثلثات
تست ۱: تبدیل درجه به رادیان ✅
صورت سؤال:
مقدار زاویهٔ 150^\circ چند رادیان است؟
پاسخ تشریحی:
برای تبدیل درجه به رادیان از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:
\text{رادیان} = \text{درجه} \times \frac{\pi}{180}
150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}
✅ پاسخ نهایی: \frac{5\pi}{6}
تست ۲: محاسبه مقدار تابع مثلثاتی ✅
صورت سؤال:
مقدار \sin(225^\circ) را بیابید.
پاسخ تشریحی:
زاویهٔ 225^\circ در ربع سوم دایره مثلثاتی قرار دارد، جایی که سینوس منفی است.
225^\circ = 180^\circ + 45^\circ
در ربع سوم داریم:
\sin(180^\circ + \theta) = -\sin(\theta)
بنابراین:
\sin(225^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
✅ پاسخ نهایی: -\frac{\sqrt{2}}{2}
تست ۳: استفاده از روابط بین نسبت‌های مثلثاتی ✅
صورت سؤال:
اگر \tan(\theta) = 3 و \theta در ربع اول باشد، مقدار \sin(\theta) را بیابید.
پاسخ تشریحی:
در ربع اول، همه نسبت‌های مثلثاتی مثبت هستند.
می‌دانیم:
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 3 \Rightarrow \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 3
از رابطه فیثاغورس:
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
با جای‌گذاری \sin(\theta) = 3\cos(\theta) :
(3\cos(\theta))^2 + \cos^2(\theta) = 1 \Rightarrow 9\cos^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \Rightarrow 10\cos^2(\theta) = 1
\cos^2(\theta) = \frac{1}{10} \Rightarrow \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10}}
سپس:
\sin(\theta) = 3\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}
✅ پاسخ نهایی: \frac{3\sqrt{10}}{10}
تست ۵: استفاده از فرمول‌های جمع و تفاضل زاویه‌ها ✅
صورت سؤال:
مقدار \cos(75^\circ) را بیابید.
پاسخ تشریحی:
می‌دانیم:
75^\circ = 45^\circ + 30^\circ
از فرمول جمع زاویه برای کسینوس استفاده می‌کنیم:
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
پس خواهیم داشت:
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)
مقادیر معروف:
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
جای‌گذاری:
\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
✅ پاسخ نهایی: \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
فصل سوم، تست های مفهومی و کنکوری توان های گویا و عبارت های جبری
سؤال ۱ ✅
مقدار عبارت زیر را ساده کنید:
\left( \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} \right)
حل:
۱. ضرب توان‌های هم‌پایه در صورت:
a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}
۲. تقسیم توان‌های هم‌پایه:
\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{5}{6} - \frac{5}{6}} = a^0 = 1
✅ پاسخ نهایی: ۱
سؤال ۲ ✅
دامنهٔ تابع زیر را بیابید:
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}
حل:
۱. شرط تعریف رادیکال در مخرج:
برای اینکه عبارت زیر رادیکال تعریف‌پذیر و مخرج صفر نشود، باید:
x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2
✅ پاسخ نهایی: دامنهٔ تابع: (2,\ \infty)
سؤال ۳ ✅
عبارت زیر را ساده کرده و به‌صورت توان با پایه ۲ بنویسید:
\left( \frac{8x^6}{4x^2} \right)^{\frac{1}{2}}
حل:
۱. داخل پرانتز را ساده می‌کنیم:
\frac{8x^6}{4x^2} = 2x^4
۲. حال توان را اعمال می‌کنیم:
(2x^4)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot x^{4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot x^2
✅ پاسخ نهایی: \sqrt{2} \cdot x^2
سؤال ۴ ✅
عبارت زیر را به ساده‌ترین شکل بنویسید:
\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)^4
حل:
۱. از قانون توان روی توان استفاده می‌کنیم:
x^{-\frac{3}{2} \cdot 4} = x^{-6}
۲. اگر بخواهیم با توان مثبت بنویسیم:
x^{-6} = \frac{1}{x^6}
✅ پاسخ نهایی: \frac{1}{x^6}
سؤال ۵ ✅
اگر a = 4 ، مقدار a^{\frac{4}{3}} را بیابید.
حل:
۱. طرفین را به توان ۲ می‌رسانیم:
\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^2 = a^{\frac{4}{3}} = 4^2 = 16
✅ پاسخ نهایی: 16
فصل چهارم، تست های پرتکرار کنکور از معادله ها و نا معادله ها
سؤال ۱ ✅
معادله زیر را حل کنید:
|x - 3| = 5
حل:
برای حل معادلهٔ قدرمطلقی، دو حالت را بررسی می‌کنیم:
۱. حالت اول:
x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8
۲. حالت دوم:
x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2
✅ پاسخ نهایی: x = 8 یا x = -2
سؤال 2 ✅
معادله زیر را حل کنید:
\sqrt{x + 2} = x - 2
حل:
۱. محدودیت دامنه:
- برای تعریف رادیکال: x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2
- برای تعریف طرف راست: x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2
پس دامنه: x \ge 2
۲. مجذور طرفین:
(\sqrt{x + 2})^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x + 2 = x^2 - 4x + 4
۳. انتقال همه جملات به یک طرف:
x^2 - 5x + 2 = 0
۴. حل معادله درجه دوم:
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}
۵. بررسی دامنه:
- از دو جواب به دست آمده، فقط آن‌هایی که x \ge 2 هستند، پذیرفته می‌شوند.
✅ پاسخ نهایی: x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2} با شرط x \ge 2
فصل پنجم، تست های استاندارد مبحث تابع
سؤال ۱ ✅
دامنهٔ تابع زیر را بیابید:
f(x) = \frac{1}{x - 3}
حل:
برای اینکه تابع تعریف‌پذیر باشد، مخرج نباید صفر شود:
x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3
✅ پاسخ نهایی: دامنهٔ تابع: (-\infty, 3) \cup (3, \infty)
سؤال ۲ ✅
اگر تابع f(x) = x^2 + 2x + 1 باشد، مقدار f(-3) را بیابید.
حل:
جای‌گذاری x = -3 در تابع:
f(-3) = (-3)^2 + 2 \cdot (-3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4
✅ پاسخ نهایی: 4
سؤال ۳ ✅
تابع f(x) = \sqrt{x - 1} را در نظر بگیرید. دامنهٔ این تابع چیست؟
حل:
برای تعریف‌پذیر بودن رادیکال، باید عبارت زیر رادیکال غیرمنفی باشد:
x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1
✅ پاسخ نهایی: دامنهٔ تابع: [1, \infty)
سؤال ۴ ✅
اگر f(x) = 2x + 3 و g(x) = x^2 باشند، مقدار f(g(2)) را بیابید.
حل:
ابتدا g(2) را محاسبه می‌کنیم:
g(2) = 2^2 = 4
سپس f(4) را محاسبه می‌کنیم:
f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11
✅ پاسخ نهایی: 11
سؤال ۵ ✅
تابع f(x) = |x - 2| را در نظر بگیرید. مقدار f(5) را بیابید.
حل:
f(5) = |5 - 2| = |3| = 3
✅ پاسخ نهایی: 3
