معکوس ماتریس یا وارون ماتریس در هندسه

وارون ماتریس در واقع يكی از دروس پايه دوازهم برای درس هندسه می باشد، شما با فرا گرفتن اين مبحث به خوبی می توانيد سوالات مربوطه به آن را در كنكور پاسخ داده و درصد خوبی را كسب كنيد.

در صورتی که در هندسه رشته ریاضی مشکل دارید حتما از پکیج ما دیدن فرمایید.

وارون ماتریس در هندسه

وارون ماتريس: ماتريس به آسانی قابل حل شدن است ولی وارون ماتريس دقيقا معكوس آن به عمل خواهد آمد ، به صورت مثال A^-1  نماد آن خواهد بود كه به معنای وارون و معكوس بودن آن است. سوالات زيادی در رابطه با نماد علمی‌ و نشان دادن آن مطرح شده است؛ برخی‌ از افراد بر اين باور هستند كه بايد به صورت 1-/1 نمايش داده شود ولی‌ اصلا اينگونه نخواهد بود به اين دليل كه علامت بين آن ها ه معنای تقسيم خواهد بود.

نكات بسيار جالب و كاربردی: اگر هر عددی را در معكوس خودش ضرب كنيم قطعا عدد1 نمايش داده خواهد شد ولی اگر وارون ماتريس را ضرب در خودش كنيم به عبارتی خود ماتريس آن به دست می آيد.( به عبارتی برای وارون ماتريس در پاسخ عدد 1 جواب داده خواهد شد)

ماتريس همانی: در بخش بالایی به ماتريس همانی و يا يكه اشاره كرده ايم و اگر مطلب را به خوبی مطالعه كرده باشيد به‌ آن پی خواهيد برد كه ماتريس های يك به عبارتی پاسخ حاصل آن ها برابر 1 خواهد شد، معروف ترين ماتريس همانی 3 در 3 خواهد بود، البته كه 2 در 2 و 4 در 4 هم وجود خواهد داشت.

تعریف معکوس ماتریس

در بخش قبلی بخشی از وارون ماتريس را مطالعه كرديد، A × A^-1 = A^-1 × A = I   توجه داشته باشيد كه شايد ماتريسی هيچ معكوسی و اين موضوع اصلا عجيب نخواهد بود، به عبارتی ماتريس های 2 در 2 و 3 در 3 و 4 در 4 .

كاربرد وارون يك ماتريس:

ماتريس ها در واقع هيچ وقت تقسيم نخواهند شد همانطور كه در ابتدای مقاله نمونه ایی از آن ها را مشاهده كرديد ولی به صورت واضح می توانيم آن را در معكوسش ضرب كنيم به عدد 1 را به ما می دهد. شايد درك اين موضوع برای شما بسيار سخت شده باشد ولی چگونه؟ فرض كنيد كه در دنيای رياضی اصلا تقسيمی وجود نداشت و نمی توانستيم عبارت ها را تقسيم كنيم، قطعا نشدنی است؛ به عنوان مثال اگر شما بخواهيد 10 عدد خودكار را بين 2 نفر تقسيم كنيم، البته با فرض رياضی كه بين 2 نفر  تقسيم خواهد شد؛ حال بايد با توجه به تعريف وارون ماتريس پيش برويم، معكوس عدد 2 را محاسبه كنيد، در واقع عدد 0.5 به دست خواهد آمد. اما در ادامه بايد به صورت زي آن را محاسبه كرد:

10 × 0.5 = 5

( تعريف رياضی اين مورد به آن صورت كه بين a و b به صورت كامل 5 عدد تقسيم خواهد شد ولی نكته اساسی آن است كه بايد فرض كنيم a و b  به صورت معلوم است ولی مجهول  xرا به دست آوريد: XA = B حال برای حل اين معادله روش های زيادی وجود خواهد داشت ولی بهتر است كه به آن به دقت نگاه كنيد، نمی توانيم معلوم را تقسيم بر مجهول كنيم به اين دليل كه وارون ماتريس هيچگاه تقسيم نمی شود، بهتر است كه به شكل X = BA-1 نمايش دهيم)

 ترتيب وارون ماتريس:

مهم بودن ترتيب ماتريس بسيار و بسيار مهم بوده و البته كه بايد به آن خيلی دقت كنيد به اين دليل كه ممكن است در حل سوالات مشكلات زياد به وجود آيد؛ حال به مثال زير به دقت نگاه كنيد:

AX = B

مسئله ترتيب در مثال بالا بسيار مهم است، ايكس بعد از a قرار دارد. با توجه به ضرب كردن ماتريس ها بايد ترتيب را به خوبی رعايت كنيد به اين دليل كه ممكن پاسخ جواب ها تغيير كند.( البته به صورتی كلی می توانيد نكته  AB ≠ BA را در يك برگه يادداشت كنيد، در وارون ماتريس اين دو بسيار تفاوت دارد ولی ممكن است در برخی ديگر از مباحث رياضی اين مورد فرقی نداشته باشد)

آيا ممكن است كه وارون ماتريس وجود نداشته باشد؟

نكته ایی كه در ابتدا بايد حائز شود آن است كه ماتريسی كه می خواهد وارون باشد بايد به صورت مربعی ترسيم و يا طرح شده باشد( همان جدول های 2 در 2 و يا 3 در 3 و يا 4 در 4 و…). ولی بايد تعداد سطر ها و ستون ها با هم برابر باشند و نه اينكه با هم تفاوت داشته باشد؛ نكته دوم آن است كه دترمینان آن بايد غير صفر باشد ولی اگر اين اعمال را انجام ندهيم چه می‌ شود؟ به عبارتی ديگر اصلا پاسخی درست دريافت نخواهيد كرد به اين دليل كه تقسيم بر صفر خواهد شد و پاسخ دقيقی برای اين موضوع وجود نخواهد داشت.

تعداد ماتريس های بزرگتر:

ماتريس های بسيار بزرگی وجود دارد كه برای يافتن وارون آن ها كار خيلی سختی نبايد انجام دهيد به عنوان مثال ماتريس 2 در2 حاسبه كردن آن نسبت به 3 در 3 و 4 در 4 و البته غيره آسان تر خواهد بود، اما ما برای حل كردن سريع آن ها سه روش كليدی را عنوان خواهيم كرد كه عبارت اند از:

• به دست اوردن معكوس به روش های سطر به سطر همانند روش های جردن و گاوس.
• به دست آوردن وارون ماتريس به روش های استفاده از كهاد و همساز و ماتريس همساز.
• سومين روش برای به دست آوردن ماتريس وارون بسيار آسان خواهد بود، شما با توجه به نرم افزار های مهندسی و البته سايت هایی ساخته در رابطه با اين مورد به راحتی می توانيد ماتريس های بسيار بزرگ رامحاسبه كنيد.

بدست آوردن وارون ماتريس

پيشنهاد ما به شما آن است كه در دوره های آموزشی كه در سايت ما وجود دارد به صورت كلی اين مباحث را مرور كرده و يا اينكه آموزش آن را از صفر تا صد فرا بگيرد، توجه داشته باشيد كه وارون ماتريس البته كه در پايه دوازدهم و دروس هندسه قرار دارد و شما بايد آموزش در رابطه با آن را فرا بگيرد، ويديو های بسيار زيادی در رابطه با اين موضوع در سايت بارگزاری شده است كه به راحتی هر چه تمام تر هم می توانيد آن ها را سريعا مشاهده كنيد و ابهامات خود را رفع كنيد.

نتيجه گيری كلی:

تمامی نكاتی كه تا به الان توضيح داده شده را به صورت يكباره شرح خواهيم داد، ماتريس هيچگاه تقسيم نمی شود بلكه بايد وارون آن را به دست آورد، البته كه با ضرب آن با وارون خود عدد 1 را به ما می‌ دهد. ترتيب هميشه در وارون ماتريس بسيار مهم بوده است، برای قهميدن اين موضوع كافی‌ است كه ترتيب های نا منظم را در هم ضرب كرده و البته كه با پاسخ های متفاوت رو به رو خواهيد شد.

همچنین شاید مفید باشد: دامنه و بر تابع