حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم
با حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم می توانید تسلط خود را در این مبحث افزایش دهید. فصل اول کتاب ریاضی پایه دهم به مباحث مجموعه، الگو و دنباله می پردازد که پایه گذار مفاهیم پیشرفته تر در ریاضیات هستند. درک عمیق این مباحث برای دانش‌آموزان رشته های ریاضی و تجربی ضروری است. این مقاله با هدف ارائه‌ی نمونه سوالات متنوع از این فصل، همراه با پاسخ های تشریحی و نکات کلیدی، تهیه شده است تا به دانش آموزان در تسلط بر این مباحث کمک کند. برای تسهیل دسترسی شما به منابع، آموزش ریاضی کنکور مختص به شما تهیه شده است.
مفاهیم اساسی و نکات مهم در حل سوالات الگو و دنباله ریاضی دهم
- ریاضیات علمی است که مرتبط با اعداد است.
موضوع مورد بحث ما در اینجا در مورد الگوهای متفاوت است، الگو ها انواع مختلفی دارند؛ مانند الگوهای عددی، تصویری، کلمات و… .
الگوهای عددی در ریاضیات بسیار رایج هستند و می توان گفت الگوهای عددی در همه جای ریاضیات حضور دارند.
اولین موضوع تعریف الگو است؛ این سوال پیش می آید که الگو چیست؟
زمانی که اعداد، اشکال و… طبق یک ترتیب مشخص تکرار شوند الگو داریم.
اگر الگو ویژه اعداد را بخواهیم تعریف کنیم زمانی که یک مجموعه از اعداد بر اساس یک قاعده مشخص و از پیش تعیین شده به یکدیگر مرتبط باشند، نحوه ارتباط آن ها الگو نامیده می شود.
این الگو ها دنباله نیز می تواند باشد که به صورت محدود یا نامحدود تعریف می شوند.
مثال: یک دنبال به شکل \text { 2,4,8,? } وجود دارد، واضح است که هر عدد با افزوده شدن 2 به عدد قبلی به دست می آید. بنابراین عدد بعد از 8 می شود: 8+2=10
- الگوهای عددی انواع متفاوتی دارند مانند:
الگوی حسابی، الگوی هندسی و الگوی فیبوناچی
الگوی حسابی:
این الگو به الگوی جبری نیز معروف است. دنباله هایی که بر اساس جمع یا تفریق به دست می آیند در دسته الگوی حسابی قرار می گیرند، یعنی در صورت داشتن چند جمله از الگو می توان با انجام دادن عملیان جمع یا تفریق الگو را پیدا کرد.
مثال: 2,4,6,8,10, \ldots, 14, \ldots
قاعده این الگو به این شکل است که به هر عدد 2 واحد افزوده شده تا عدد بعدی دنباله حاصل شود. پس جمله اول گم شده می شود: 2+10=12
و جمله بعد گم شده در دنباله می شود: 2+14=16
- در دنباله حسابی اگر قدر نسبت مثبت باشد جمله های دنباله به اندازه ثابتی افزایش می یابند و اگر قدر نسبت منفی باشد جمله های دنباله به اندازه های ثابتی کاهش می یابند.
اگر a_m, a_n دو جمله دلخواه و m>n فرض شود، آن گاه قدر نسبت از رابطه روبه رو بدست می آید:d=\frac{a_m-a_n}{m-n}
الگوی هندسی:
دنباله هایی که اعداد با ضرب یا تقسیم هر جمله قبلی در مقداری ثابت به دست آید، الگوی هندسی گفته می شود.
مثال: 8,16,32, \ldots, 128, \ldots
الگوی این دنباله با ضرب هر جمله در 2 به دست می آید.
پس جمله اول گم شده:2 \times 32=64
جمله دوم گم شده:2 \times 128=256
- اگر اولین جمله یک دنباله هندسی a و قدر نسبت آن q باشد جملات دنباله به شکل زیر خواهد بود:
جمله n ام این دنباله با فرمول a q^{(n-1)} به دست می آید.
اگر قدر نسبت دنباله هندسی از تقسیم هر جمله بر جمله قبلی به دست آید، قدر نسبت دنباله از رابطه روبرو به دست می آید:
q=\sqrt[n+1]{\frac{b}{a}}
الگوی فیبوناچی: به دنباله ای که هر جمله از حاصل جمع دو جمله قبلی به دست می آید و با اعداد 0 و 1 شروع می شود؛ دنباله فیبوناچی می گویند.
دنباله فیبوناچی: 0,1,1,2,3,5,8,13, \ldots
ما در ریاضی یک سری مجموعه های اصلی داریم که شامل: مجموعه اعداد گویا (Q)، اعداد گنگ ()، اعداد حقیقی (R)، اعداد صحیح (Z)، اعداد حسابی (W)، اعداد طبیعی (N) هستند.
قوانین و نمایش هندسی انواع بازه ها در ریاضیات:
| نمایش بازه | نمایش مجموعه‌ای | نمایش هندسی |
|---|---|---|
| (a, b) | {x | a < x < b} | |
| [a, b] | {x | a ≤ x ≤ b} | |
| [a, b) | {x | a ≤ x < b} | |
| (a, b] | {x | a < x ≤ b} | |
| (-∞, a] | {x | x ≤ a} | |
| (a, +∞) | {x | x > a} | |
| (-∞, +∞) | R |
اجتماع دو مجموعه: تمامی عضو های دو مجموعه را اجتماع دو مجموعه می گویند که با اشتراک آن دو مجموعه به صورت A \cup B نشان می دهند.
اشتراک دو مجموعه: عضو های مشترک دو مجموعه را اشتراک آن ها می گویند که به صورت A \cap B نشان داده می شود.
تفاضل دو مجموعه: تفاضل دو مجموعه را به صورت B-A نمایش می دهند.
تعریف مجموعه ای هر کدام به صورت زیر نمایش داده می شوند:
\begin{aligned} A \cup B & =\{x \mid x \in A\llcorner x \in B\} \\ A \cap B & =\{x \mid x \in A, x \in B\} \\ A-B & =\{x \mid x \in A, x \notin B\} \end{aligned}- مجموعه های متناهی: مجموعه ای که بتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی نشان داد را مجموعه متناهی می نامند. آموزش مجموعه متناهی و نامتناهی آموزش کاملی از مجموعه های متناهی و نامتناهی به شما ارائه می دهد.
- مجموعه مرجع: به هر مجموعه ای که همه مجموعه های مورد بحث زیر مجموعه آن باشد، مجموعه مرجع گفته می شود.
- نکته: هرگاه U مجموعه مرجع باشد و A \subseteq U ، آنگاه U-A را متمم A می نامیم و آن را با نماد A^{\prime} نشان می دهیم.
الگوی خطی در آموزش الگو و دنباله
وقتی اختلاف دو جمله متوالی مقداری ثابت باشد، یک دنباله داریم که مطابق با یک الگوی خاص پیش می رود و می توان جمله عمومی آن را به صورت یک عبارت درجه اول نوشت. که به آن الگوی خطی گفته می شود.
در یک الگوی خطی با داشتن دو جمله از آن می توان جمله عمومی آن را به دست آوریم:
مثال: \left\{(1,5),(2,8),(3,11), \ldots,\left(n, a_n\right), \ldots\right\}
اگر معادله هر خط به صورت y=a x+b باشد؛ a همان شیب خط است، که به روش زیر معادله حاصل می شود:
\begin{gathered} a=\frac{8-5}{2-1}=3 \\ y=a x+b \\ 5=3 \times 1+b \\ b=2 \\ y=3 x+2 \\ a_n=3 n+2 \end{gathered}که با استفاده از فرمول به دست آمده می توان هر جمله ای از آن را به دست آورد.
مثال: جمله سوم یک الگوی خطی 13 و جمله دهم آن 41 است. جمله عمومی این الگو را بنویسید.
داده های مسئله به صورت زیر است:
\begin{gathered} a_3=13 \rightarrow(3,13) \\ a_4=41 \rightarrow(10,41) \end{gathered}با توجه به این دو نقطه می تواند شیب خط را محاسبه کرد:
a=\frac{41-13}{10-3}=\frac{28}{7}=4
اکنون می توان با جایگذاری یکی از جمله ها در فرمول، جمله آن را به دست آورد:
\begin{gathered} y=a x+b \\ 41=4 \times 10+b \\ b=1 \\ a_n=4 x+1 \end{gathered}
الگوهای غیرخطی در آموزش الگو و دنباله
ترکیب و آموزش کامل دوره سالیانه ریاضی دهم رشته تجربی و ریاضی رابطه این مبحث با باقی مباحث به صورت گسترده بیان می کند.
گاهی باید به دنبال رابطه ی بین الگو های داده شده باشیم که ممکن است به صورت مربعی یا مثلثی و گاهی هردو بیان شود:
مثال: جمله عمومی دنباله زیر را بنویسید.
\longrightarrow \begin{array}{cc} 5,12,21,32, \ldots \\ 7,9,11 \\ 2,2 \end{array}به دلیل اینکه جملات با یک مقدار ثابت تغییر نکرده اند متوجه می شویم که دنباله، یک دنباله غیرخطی است:
جمله عمومی تمام الگوهای غیرخطی درجه دوم به صورت زیر است:
a_n=a n^2+b n+cفاصله ی فاصله جملات برابر با 2 است و این مقدار همیشه 2 برابر a خواهد بود.
2 a=a \rightarrow a=1پس خواهیم داشت:
\begin{gathered} a_n=a n^2+b n+c \\ a_1=5 \rightarrow n=1 \\ 5=1 \times 1^2+b \times 1+c \\ b+c=4 \\ a_2=12 \rightarrow n=2 \\ 12=1 \times 2^2+b \times 2 \\ 2 b+c=8 \\ \left\{\begin{array}{c} b+c=4 \\ 2 b+c=8 \end{array}\right. \end{gathered}در ادامه دستگاه را حل می کنیم و خواهیم داشت:
b=4, c=0جمله عمومی:
a_n=n^2+4 nحل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم
مثال 1: در دنباله 2,5,8,11, \ldots جمله عمومی را بیابید.
پاسخ: این دنباله یک دنباله حسابی چون هر جمله از حاصل جمع جمله قبل در یک عدد ثابت به دست می آید.
d=5-2=3فرمول دنباله حسابی:
a_n=a_1+(n-1) \times dبا جایگذاری به جمله عمومی خواهیم رسید:
a_n=2(n-1) \times 3=3 n-1مثال2: عدد پنجم دنباله هندسی 3,6,12,24, \ldots را پیدا کنید.
\begin{gathered} q=6 \div 3=2 \\ a_n=a_1 \times q^{(n-1)} \\ a_5=3 \times 2^4=16 \times 3=48 \end{gathered}مثال 3: جمله عمومی دنباله 1,4,9,16,25, \ldots چیست؟
پاسخ: این دنباله مربعات اعداد طبیعی است.
فرمول دنباله: a_n=n^2
مثال 4: دنباله ای به صورت 7,14,28,56, \ldots داده شده است. جمله هفتم آن را بیابید.
پاسخ: این دنباله یک دنباله هندسی است و q=14 \div 7=2
فرمول: a_n=a_1 \times q^{(n-1)}
a_7=7 \times 2^6=7 \times 64=448 a_n=a_1 \times q^{(n-1)}مثال 5: دنباله ای به صورت 25,50,100, \ldots داده شده است. جمله ششم آن را بیابید.
پاسخ: این دنباله هندسی است و q=\frac{50}{100}=0 / 5
فرمول: a_6=100 \times(0 / 5)^5=100 \times \frac{1}{32}=3 / 125
اشتباهات رایج در حل سوالات الگو و دنباله و راه‌های پیشگیری از آن‌ها
- یکی از اشتباهات رایج که معمولا دانش آموزان دچار می شوند نوع الگوی داده شده در سوال را اشتباه تشخیص می دهند و دلیل آن معمولا یا به خاطر آموزش اشتباه و نداشتن دقت در روابط بین دنباله هاست و یا اینکه از طریق راه اشتباه روابط بین جملات را بررسی می کنند.
- برای اینکه بتوانید تا جای ممکن از این مشکل جلوگیری کنید به جملات متوالی داده شده دقت کنید و با کمی دقت و آشنایی با نحوه سوالات می توانید تفاوت و یا نسبت بین آن ها را محاسبه کنید.
- یکی دیگر از مشکلات داوطلبان در حل سوالات استفاده از فرمول اشتباه است که می تواند از همان تشخیص نادرست نوع دنباله باشد و یا اینکه در هنگام مطالعه درسنامه هر دنباله به فرمول آن توجه کافی نداشته اند.
- برای حل این مشکل باید ابتدا فرمول ها را خوب بررسی کنید و توانایی تفکیک آن ها از یکدیگر را داشته باشید و سپس از هر مورد مثال های متعددی حل کنید تا بتوانید با تیپ بندی سوالات هر دنباله آشنا شوید.
- از اشتباهات دیگری که می توانید به آن دچار شوید دقت نکردن به جملات ابتدایی و انتهایی هر دنباله است؛ نباید فقط به جملات میانی توجه کنید گاهی جملات ابتدایی و انتهایی مهم ترین داده های مسئله ما هستند.
- برای حل این موضوع سعی کنید همیشه برای شروع حل مسئله از جمله اول استفاده کنید.
- یکی دیگر از مشکلات که درگیر آن می شویم اشتباه در تعریف دقیق دنباله عمومی مخصوصا در دنباله های غیر خطی است.
- ابتدا مطمئین شوید که دنباله حسابی یا هندسی نیستو پس از آن تغییرات دنباله را بررسی کنید.
- پس تا اینجا معادله یا درجه 2 است و یا درجه 3، برای حل این معادلات حتما دستگاه تشکیل دهید و بعد از آن اقدام به حل سوال کنید.
- بعضی افراد فکر میکنند که دنباله های خاص از اهمیت کمی برخوردار است و به دقت کمی از آن ها رد می شوند.
- اطلاع از انواع دنباله های خاص مانند فیبوناچی، مربعات، مکعبات و…، شناخت آن ها کمک زیادی به تشخیص نوع معادله می کند و برای این موضوع همیشه چند جمله متوالی را بررسی کنید.
شما با مرور مداوم فرمول ها و تحلیل دقیق سوالات و مهم تر از همه تمرین مستمر از انواع سوالات چه به صورتی تک معادله از هر دنباله و چه سوالات ترکیبی شما را تا حد زیادی از اشتباهات دور می کند.
اشتباهات مشابهی که می تواند در آموزش دایره مثلثاتی نیز تکرار شود.
نکات و تکنیک‌های کلیدی برای حل سریع سوالات الگو و دنباله
اولین راه برای افزایش سرعت و حل صحیح سوالات الگو و دنباله تکرار و تمرین زیاد است تا بتوانیم به واسطه آن نوع دنباله را در سوالات به درستی تشخیص بدهیم.
پس از تشخیص صحیح دنباله در ابتدا باید قدر نسبت آن دنباله را محاسبه کنیم تا بتوانیم با استفاده از فرمول های عمومی معادله دنباله را بدست آوریم.
از این نکته که برای آموزش این مبحث باید به دنبال یک آموزش معتبر و صحیح در مورد موضوع الگو و دنباله باشید غافل نشوید.
برای اطلاع کامل از مطالعه جزئیات و نحوه مطالعه مطالب به چگونه ریاضی را برای امتحان نهایی بخوانیم مراجعه کنید.
در جدول زیر می توانید خلاصه ای از مطالب گفته شده را مشاهده کنید:
| مبحث | توضیحات | فرمول عمومی | مثال |
| تعریف الگو | کرار منظم و قاعده‌مند اعداد، اشکال یا روابط. | _ | 2,4,6,8, \ldots |
| تعریف دنباله | مجموعه‌ای از اعداد مرتبط با قاعده مشخص که ممکن است محدود یا نامحدود باشد | _ | 1,1,2,3,5, \ldots |
| الگوی حسابی | دنباله‌ای که هر جمله با جمع یا تفریق مقدار ثابتی به دست می‌آید. | \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_1+\mathrm{d}\left(1 \_\mathrm{n}\right) | 2,4,6,8, \ldots |
| الگوی هندسی | دنباله‌ای که هر جمله با ضرب یا تقسیم مقدار ثابتی به دست می‌آید. | a_n=a_1 \times r^{\left(n_{-} 1\right)} | 3,6,12,24, \ldots |
| الگوی فیبوناچی | دنباله‌ای که هر جمله از جمع دو جمله قبلی به دست می‌آید. | a_n=a_{\left(n_{-} 1\right)}+a_{\left(n_{-} 2\right)} | \text { 0,1,1,2,3,5,8,... } |
| الگوی غیر خطی | دنباله‌هایی که رابطه بین جملات آن‌ها درجه دوم یا بالاتر است. | a_n=a n^2+b n+c | 1,4,9,16, \ldots |
| محاسبه مجموع حسابی | محاسبه مجموع جملات یک دنباله حسابی. | S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right) | \text { 2,4,6, } 2, \text { براى5 } |
| محاسبه مجموع هندسی | محاسبه مجموع جملات یک دنباله هندسی محدود | S_n=a_1 \times \frac{r^n-1}{r_{-} 1} | \text { S } 3,6,12, \ldots 4 \text { براى } |
| مشکل رایج | راه حل |
| اشتباه در تشخیص نوع دنباله | بررسی اختلاف‌ها (برای حسابی) یا نسبت‌ها (برای هندسی). |
| استفاده نادرست از فرمول | مرور فرمول‌های هر نوع دنباله و تمرین بیشتر. |
| خطا در محاسبات عددی | انجام محاسبات به صورت گام‌به‌گام و بررسی دوباره. |
| نادیده گرفتن جملات ابتدایی/انتهایی | استفاده از همه جملات داده شده در تحلیل الگو. |
| بی‌دقتی در دنباله‌های خاص | آشنایی با دنباله‌های خاص مانند فیبوناچی، مربعات و مکعبات. |
| سرعت پایین در حل مسائل | تکرار و تمرین سوالات متعدد از هر نوع دنباله. |
