نمونه سوالات لگاریتم و تابع نمایی

نمونه سوالات لگاریتم و تابع نمایی، یکی از موضوعات اصلی برای تمرین بیشتر در جهت تسلط بر درس مفهومی و پایه ای ریاضی می باشد.

این درس علاوه بر تسلط بر مفاهیم نظری و تحلیلی، نیاز به مهارت حل مسئله دارد که تمامی این موارد با تمرکز بر تمرین و تست زنی اصولی انجام می شود.

تمرکز بر تمرین و تست زنی اصولی، آن‌ گونه که در دوره «پروژه جمع‌ بندی ریاضی فینیشر» ارائه شده، می‌ تواند فرآیند یادگیری را هدفمندتر کند.

درس لگاریتم علاوه بر اینکه نقش مهمی در یادگیری مباحث پیچیده تر دارد، به تنهایی می تواند از مباحث چالش برانگیز کنکور نیز محسوب شود.

مبحث تابع که در «کارگاه مبحث تابع (مقطع یازدهم)» با رویکرد تحلیلی آموزش داده شده، نقش کلیدی در درک عمیق‌ تر مباحثی مثل لگاریتم و تابع نمایی دارد.

زمانی که طراحان کنکور سوالاتی پیچیده و مفهومی در کنکور و آزمون های مهم مطرح می کنند، نقش تمرین و نمونه سوالات لگاریتم و تابع نمایی که توانسته باعث تقویت سواد علمی ما رد این زمینه شود مشخص خواهد شد.

تکنیک مهندسی معکوس در تست‌ های ریاضی، رویکرد تحلیل ساختار سوالات به شکل موثری بررسی شده است.

از طرف دیگر بررسی سوالات کنکورهای گذشته و تشخیص الگوی طراحی سوالات را مشخص می کندو می تواند با دید تحلیلی که به دانش آموز می دهد پاسخگویی و روند تمرین کردن را ساده تر کند.

یکی دیگر از موارد کاربردی استفاده از ویدیوهای آموزشی است، وقتی مفاهیم نظری با تمرین ‌های هدفمند و آموزش تصویری تلفیق می ‌شوند، نه‌ تنها یادگیری ساده‌ تر می ‌شود بلکه اعتماد به ‌نفس در مواجهه با سوالات سخت نیز افزایش می‌یابد.

بر اساس نکات مطرح‌ شده، برنامه ‌ریزی مطالعاتی برای موفقیت در ریاضی کنکور تجربی، استفاده از منابع تصویری همراه با تمرین‌ های طبقه‌ بندی‌ شده از اهمیت ویژه‌ ای برخوردار است.

نمونه سوال تابع نمایی و لگاریتمی با جواب

سؤال ۱

دامنهٔ تابع f(x)=\log(x^2-4x) را به‌دست آورید.

حل گام به گام:

1. برای تعریف لگاریتم، عبارت درون آن باید مثبت باشد: x^2-4x>0
2. فاکتورگیری: x(x-4)>0
3. نقاط صفر 0 و 4‌اند؛ جدول علامت:

   بازه        x      (x‑4)     حاصل‌ضرب
   -----------  -----  -------   ----------
   x<0          −       −         +
   0<x<4        +       −         −
   x>4          +       +         +
       

   بازه‌های مثبت مجازند.

(-\infty,0)\cup(4,+\infty)

---

سؤال ۲

مقدار عبارت زیر را بیابید:

\log_{2} 32 + \log_{2}\!\left(\dfrac{1}{4}\right) حل گام به گام:

1. محاسبهٔ جداگانهٔ هر لگاریتم:
   • \log_{2} 32=\log_{2}(2^{5})=5
   • \log_{2}\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=\log_{2}(2^{-2})=-2
2. جمع نتایج: 5 + (-2) = 3
3. روش جایگزین (قانون جمع لگاریتم): \log_{2}\!\bigl(32\times\tfrac{1}{4}\bigr)=\log_{2} 8 = 3

---

سؤال ۳

معادلهٔ زیر را حل کنید:

2^{x+1}=16 حل گام به گام:

1. نوشتن ۱۶ به توانِ ۲: 16=2^{4}
2. برابری پایه‌ها → برابری توان‌ها: 2^{x+1}=2^{4}\;\Longrightarrow\;x+1=4
3. نتیجه: x=3

---

سؤال ۴

مقدار عبارت زیر را بیابید:

\log_{3} 9 + \log_{3} 27 - \log_{3} 81 حل گام به گام:

1. بازنویسی هر عدد به توانِ ۳:
   • \log_{3} 9 = \log_{3}(3^{2}) = 2
   • \log_{3} 27 = \log_{3}(3^{3}) = 3
   • \log_{3} 81 = \log_{3}(3^{4}) = 4
2. جایگذاری و محاسبه: 2 + 3 - 4 = 1

---

سؤال ۵

اگر f(x)=\log_{2}(x+1) و f(a)=3، مقدار a را بیابید.

حل گام به گام:

1. قرار دادن مقدار تابع: \log_{2}(a+1)=3
2. تبدیل لگاریتمی به نمایی: a+1=2^{3}=8
3. کسر ۱: a=7

تست لگاریتم

سؤال ۱ – کنکور تجربی داخل (نوبت دوم) ۱۴۰۲، سؤال ۱۱۵

دامنهٔ تابع f(x)=\log(x^2-4x) کدام است؟

1. (A) (0,4)
2. (B) (-\infty,4)
3. (C) (0,\infty)
4. (D) (-\infty,0)\cup(4,\infty) ✔️

حل گام به گام: x^2-4x>0 \;\Longrightarrow\; x(x-4)>0

با جدول تعیین علامت نتیجه می‌شود (-\infty,0)\cup(4,\infty).

سؤال ۲ – کنکور تجربی داخل (نوبت دوم) ۱۴۰۲، سؤال ۱۱۸

مقدار زیر را بیابید:

\log_{2}32+\log_{2}\!\left(\dfrac14\right)

1. (A) ۲
2. (B) ۳ ✔️
3. (C) ۴
4. (D) ۱

حل: \log_{2}32=5 و \log_{2}(1/4)=-2 → حاصل ۳.

---

سؤال ۳ – کنکور ریاضی داخل ۱۴۰۱، سؤال ۱۲۱

معادله 2^{x+1}=16 را حل کنید.

1. (A) x=2
2. (B) x=3 ✔️
3. (C) x=4
4. (D) x=5

حل: 16=2^4\;\Longrightarrow\;x+1=4\;\Rightarrow\;x=3.

---

سؤال ۴ – کنکور تجربی داخل ۱۴۰۱، سؤال ۱۴۲

مقدار \log_{3}9+\log_{3}27-\log_{3}81 کدام است؟

1. (A) ۱ ✔️
2. (B) ۲
3. (C) ۳
4. (D) ۴

حل: 2+3-4=1.

---

سؤال ۵ – کنکور تجربی داخل ۱۴۰۱، سؤال ۱۴۴

اگر f(x)=\log_{2}(x+1) و f(a)=3، مقدار a را بیابید.

1. (A) ۶
2. (B) ۷ ✔️
3. (C) ۸
4. (D) ۵

حل: a+1=2^3=8\;\Rightarrow\;a=7.

---

سؤال ۶ – کنکور تجربی خارج ۱۴۰۰، سؤال ۱۳۷

با توجه به معادله

\log_{3}\!\left(\dfrac{2x^{2}+1}{x+2}\right)=1

مقدار \log_{8}(2x-1) چقدر است؟

1. (A) \dfrac12
2. (B) \dfrac34
3. (C) \dfrac23 ✔️
4. (D) \dfrac43

حل: ریشهٔ معتبر x=\dfrac52 → \log_{8}4=\dfrac23.

---

سؤال ۷ – کنکور ریاضی خارج ۱۴۰۰، سؤال ۱۴۳

اگر \log_{2}3=a، مقدار \log_{8}27 برحسب a کدام است؟

1. (A) a ✔️
2. (B) \dfrac a2
3. (C) 3a
4. (D) 2a

حل:  \log_{8}27=\frac{\log_{2}27}{\log_{2}8}=\frac{3\log_{2}3}{3}=a

---

سؤال ۸ – کنکور ریاضی داخل ۱۳۹۹، سؤال ۱۴۰

اگر \log_{x}(6x+27)=2، مقدار \log_{4}(x-1) چقدر است؟

1. (A) ۱
2. (B) \dfrac32 ✔️
3. (C) ۲
4. (D) \dfrac52

حل: x=9 → \log_{4}8=\dfrac32.

---

سؤال ۹ – کنکور ریاضی داخل ۱۳۹۸، سؤال ۱۳۵

مجموع ریشه‌های معادلهٔ

\log_{2}\!\bigl(4^{x}+15\bigr)=x+3

چقدر است؟

1. (A) \log_{2}12
2. (B) \log_{2}15 ✔️
3. (C) \log_{2}8
4. (D) \log_{2}18

حل: ریشه‌ها \log_{2}3 و \log_{2}5 → جمع \log_{2}15.

---

سؤال ۱۰ – کنکور ریاضی داخل ۱۳۹۸، سؤال ۱۳۶

معادلهٔ زیر چند ریشهٔ واقعی دارد؟

\log_{4}(x^{2}-3)=\log_{4}(2x)

1. (A) ۰
2. (B) ۱ ✔️
3. (C) ۲
4. (D) ۳

حل: x^{2}-3=2x\;\Rightarrow\;(x-3)(x+1)=0. x = 3 معتبر؛ x = −1 مردود → فقط یک ریشه.

سخت ترین سوال لگاریتم

در ابتدا بهتر است بدانیم که سخت ترین سوال لگاریتم دقیقا چه ویژگی هایی دارد؟

• ترکیب چند مهارت در یک سوال

سوال های سخت و چالش برانگیز لگاریتم فقط به یک مفهوم خاص اشاره ندارد و برای پاسخ دادن به آن باید چند مهارت ریاضی را به خوبی یاد گرفته باشید.

بر اساس دوره سالیانه ریاضی دهم رشته تجربی و ریاضی، تسلط گام‌ به‌ گام بر مفاهیم پایه، پیش‌ نیاز لازم برای درک درست سوالات ترکیبی است.

می توان گفت که سوالات سخت ریاضی در مفاهیم زیر به صورت ترکیبی مطرح می شوند.

• خواص لگاریتم
• معادله های پیچیده لگاریتمی
• تغییر پایه یا استفاده از لگاریتم های تو در تو

خب طبیعتا این طراحی سوال باعث می شود دانش آموزانی که نتوانسته اند مفاهیم را به صورت مفهومی و دقیق آموزش ببیند با مشکل روبرو شوند.

• استفاده از ساختار غیرمستقیم و گیج کننده

گاهی مسیر سوال به صورت مستقیم و شفاف بیان نمی شود و در صورت سوال اطلاعات گیج کننده و یا اطلاعات اضافی می دهند که داوطلب در تشخیص مسیر حل صحیح سردرگم می شود.

• طراحی خاص برای سنجش درک عمیق

طراحان سوال، این سوالات را برای داوطلبانی مطرح می کنند که توانسته اند به درک عمیقی از مفاهیم برسند و ارتباط بین مفاهیم گوناگون را بررسی کنند و از این طریق به جواب صحیح سوال می رسند.

آموزش ترکیبی مفاهیم، همان‌ طور که در دوره سالیانه یازدهم رشته تجربی و ریاضی ارائه شده، می‌ تواند به شکل‌ گیری درک عمیق و ارتباط بین مفاهیم کمک کند.

چگونه با سخت ‌ترین سوالات لگاریتمی مقابله کنیم؟

• تمرین با سوالات ترکیبی

سوالاتی که چند مفهوم را با هم ترکیب می کنند، به ذهن کمک می کند که توانایی تحلیلی ذهنی افراد افزایش پیدا کند و در مواجهه با سوالات دشوار قدرت حل مسئله داشته باشد.

• مرور قوانین لگاریتم با درک مفهومی

بسیاری از داوطلبان قوانین و ضوابط لگاریتمی را حفظ کرده اند و دلیل استفاده از آن را نمی دانند.

• استفاده از تست های کنکور سال های قبل

تمرین تست های کنکور سال های قبل می توانند به شما در آشنایی با سوالات کمک کند.   

• مدیریت زمان در جلسه

نحوه زمان بندی و تقسیم زمان در بین سوالات می تواند در عملکرد کلی شما تاثیر زیادی بگذارد.