فرمول های ریاضی دوازدهم تجربی یکی از مهم‌ ترین ابزار های موفقیت در امتحانات نهایی و کنکور سراسری به شمار می ‌آیند.

تسلط بر این فرمول ‌ها نه ‌تنها موجب حل سریع ‌تر و دقیق ‌تر مسائل می ‌شود، بلکه درک عمیق‌ تری از مفاهیم اصلی ریاضی ایجاد می‌ کند.

برای درک دقیق‌ تر اهمیت این فرمول‌ ها و نحوه استفاده از آن‌ ها در کنکور، مراجعه به بودجه‌ بندی ریاضی کنکور ۱۴۰۴ می‌تواند به برنامه‌ ریزی و زمان‌ بندی دقیق‌ تری کمک کند.

از مفهوم تابع و ترکیب آن ‌ها گرفته تا روابط پرکاربرد مثلثاتی، هر کدام از مباحث پایه‌ ای این مقطع به نحوی طراحی شده ‌اند که ادامه مسیر تحصیلی دانش ‌آموز را شکل می‌ دهند. 

در ادامه این مسیر، مفاهیمی چون حد و پیوستگی نقش مهمی در تحلیل رفتار توابع دارند و به دنبال آن، مشتق به عنوان ابزاری قدرتمند برای بررسی تغییرات و شیب نمودارها ظاهر می ‌شود.

برای مرور اصولی و موثر این مفاهیم پیش از کنکور، آگاهی از سوال چگونه در هفته آخر قبل از کنکور، ریاضی را جمع ‌بندی کنیم؟ می‌ تواند به شما کمک کند تا بهترین استفاده را از زمان باقی‌ مانده داشته باشید.

این ابزار در سطوح بالاتر تحلیل، به کمک بررسی نقاط اکسترمم و روند های صعودی و نزولی می ‌آید و کاربرد های فراوانی در فیزیک و اقتصاد نیز دارد.

برای تسلط کامل به مفاهیم پایه و پیشرفته مشتق، شرکت در دوره جامع ریاضی رشته تجربی می‌ تواند به شما در تحلیل‌ های پیشرفته کمک کند.

همچنین، هندسه با ارائه روابط دقیق خط و دایره، پلی بین جبر و فضای دو بعدی ایجاد می ‌کند و درک تجسمی مسائل را تقویت می ‌نماید. 

در نهایت، مبحث احتمال نه ‌تنها در سوالات ریاضی بلکه در درک روزمره از ریسک و پیش ‌بینی نقش اساسی دارد.

جمع ‌بندی همه این مباحث در یک چارچوب منسجم و یکپارچه، به دانش ‌آموزان این امکان را می ‌دهد که دیدی کلی اما عمیق به ساختار ریاضی این پایه داشته باشند و در کمترین زمان، بیشترین بهره ‌برداری را از آموخته‌ های خود داشته باشند.

پشتیبانی والدین نیز می‌ تواند در این مسیر از اهمیت ویژه‌ ای برخوردار باشد، که در نقش والدین در موفقیت کنکور فرزندان به طور مفصل توضیح داده شده است.

فرمول ‌های فصل اول: تابع

فصل اول کتاب ریاضی دوازدهم مربوط به مبحث تابع است که پیش نیاز بسیاری از مباحث پیشرفته تر در فصل های بعد است.

دانش آموزان در این فصل با مفاهیم مختلفی مانند توابع چندجمله ای، توابع صعودی و نزولی، ترکیب توابع، انتقال توابع و تابع وارون آشنا می شوند.

برای درک عمیق‌ تر و تسلط بر فرمول‌ های مرتبط با توابع، مطالعه‌ی مهم‌ ترین فرمول‌ های مشتق برای کنکور می‌تواند مفید باشد.

فرمول ‌های کلیدی مثلثات در فصل دوم

فصل دوم کتاب ریاضی دوازدهم تجربی مفاهیم مربوط به مثلثات را بیان می کند که یکی از مهم ترین و تست خیز ترین مباحث در کنکور به شمار می رود.

در این فصل با روابط بین زاویه ها، نسبت های مثلثاتی و ارتباط زوایای مثلث آشنا می شویم. در این فصل علاوه بر حفظ فرمول و درک روابط بین آن ها، دید هندسی و درک بهتر زاویه ها را به همراه دایره مثلثاتی آموزش می بینیم.

برای آگاهی بیشتر از اهمیت و توزیع نمرات در مبحث مثلثات، مطالعه‌ بارم‌ بندی ریاضی دوازدهم تجربی می‌تواند مفید باشد.

جدول فرمول‌های مثلثات (ریاضی دوازدهم تجربی)

این جدول شامل اتحادها و فرمول‌های مهم مثلثاتی فصل دوم کتاب ریاضی دوازدهم (رشتهٔ علوم تجربی) است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

تعاریف و روابط پایه مثلثاتی

فرمول	توضیح
tan x = sin x / cos x	تعریف تانژانت: نسبت سینوس به کسینوس هر زاویه است. از این رابطه برای تبدیل تقسیم سینوس بر کسینوس به یک عبارت ساده (تانژانت) استفاده می‌شود.
cot x = cos x / sin x = 1 / tan x	تعریف کتانژانت: برابر معکوس تانژانت است. یعنی نسبت کسینوس به سینوس همان کتانژانت نام دارد. در مسائلی که تقسیم کسینوس بر سینوس دیده می‌شود، می‌توان از کتانژانت استفاده کرد.
sec x = 1 / cos x	سکانت معکوس کسینوس است. هر جا کسینوس صفر نشود می‌توان 1/cos x را به صورت sec x نوشت. در حل معادلات یا ساده‌سازی‌ها گاهی سکانت ظاهر می‌شود.
csc x = 1 / sin x	کوسکانت معکوس سینوس است. زمانی که سینوس صفر نباشد، 1/sin x را می‌توان csc x نامید. این کمیت در ساده‌سازی روابط مثلثاتی کمتر رایج است اما دانستن آن مفید است.

اتحادهای فیثاغورسی (روابط بنیادی)

فرمول	توضیح
sin2 x + cos2 x = 1	اتحاد فیثاغورسی اصلی: مجذور سینوس به علاوهٔ مجذور کسینوس هر زاویه همیشه برابر ۱ است. این رابطه از هندسه دایره واحد می‌آید و برای ساده‌کردن عبارات مثلثاتی یا پیدا کردن یکی از سینوس/کسینوس به کمک دیگری استفاده می‌شود.
1 + tan2 x = sec2 x	اتحاد فیثاغورسی برای تانژانت و سکانت: از آنجا که tan x = sin x/cos x و sec x = 1/cos x، این اتحاد نیز همواره برقرار است. در مسائل شامل tan2 (مثل حد یا انتگرال)، می‌توان آن را با sec2 جایگزین کرد.
1 + cot2 x = csc2 x	اتحاد فیثاغورسی برای کتانژانت و کوسکانت: این رابطه نیز همیشه برقرار است (مشابه رابطهٔ قبل). به عنوان مثال در حل معادلات مثلثاتی، cot2 x را می‌توان به csc2 x – 1 تبدیل کرد تا حل ساده‌تر شود.

روابط زوایای منفی و دوره‌ای (تقارن تابع)

فرمول	توضیح
sin(-θ) = -sin θ	سینوس تابعی فرد است؛ یعنی با تغییر علامت زاویه، مقدار سینوس نیز علامتش برعکس می‌شود. برای مثال sin(-30°) = -sin(30°). این خاصیت در حل معاداتی که زاویه منفی دارند کاربرد دارد.
cos(-θ) = cos θ	کسینوس تابعی زوج است؛ یعنی منفی کردن زاویه تأثیری در مقدار کسینوس ندارد. برای نمونه cos(-30°) = cos(30°). این ویژگی در ساده‌سازی عبارات شامل زاویه منفی مفید است.
tan(-θ) = -tan θ	تانژانت نیز تابعی فرد است (مشابه سینوس)، زیرا tan x = sin x/cos x و تغییر علامت فقط صورت را منفی می‌کند. بنابراین tan(-θ) برابر منفی tan θ است. این رابطه در حل سریع معادلات تانژانت با زاویه منفی به کار می‌رود.
sin(θ + 360°) = sin θ	دوره تناوب سینوس 360° (یا 2π رادیان) است. یعنی با افزایش زاویه به اندازهٔ یک دور کامل، مقدار سینوس تکرار می‌شود. در حل معادلات مثلثاتی عمومی، اضافه کردن 360°k (برای هر عدد صحیح k) به زاویه، تغییری در سینوس ایجاد نمی‌کند.
cos(θ + 360°) = cos θ	کسینوس نیز دورهٔ 360° دارد. یعنی هر گاه θ را 360° افزایش دهیم، کسینوس همان مقدار قبلی را خواهد داشت. در تعیین جواب کلی معادلات کسینوسی (مثل cos x = a)، این ویژگی بیانگر تناوب جواب‌ها است.
tan(θ + 180°) = tan θ	تانژانت دورهٔ 180° (یا π رادیان) دارد. یعنی با اضافه کردن نیم‌دور به زاویه، تانژانت تکرار می‌شود. این خاصیت در حل معادله tan x = a اهمیت دارد؛ چرا که جواب‌های آن هر 180° تکرار می‌شوند.
sin(θ + 180°) = -sin θ	اضافه کردن 180° (نیم‌دور) به زاویه، سینوس را متناظر با قرینهٔ آن در نیمهٔ دیگر دایره می‌کند و علامت سینوس برعکس می‌شود. به عنوان مثال sin(180° + 30°) = -sin(30°). این رابطه نشان می‌دهد که سینوس در نیمهٔ دوم دایره (زوایای بیش از 180°) قرینهٔ سینوس زوایای متناظر در نیمهٔ اول است.
cos(θ + 180°) = -cos θ	با افزودن 180° به زاویه، کسینوس هم علامتش معکوس می‌شود. مثلا cos(180° + 60°) = -cos(60°). این فرمول نشان می‌دهد کسینوس در نیمهٔ دوم دایره واحد، قرینهٔ کسینوس همان زاویه در نیمهٔ اول خواهد بود.

روابط زوایای متمم و مکمل (تبدیل سینوس و کسینوس)

فرمول	توضیح
sin(90° – θ) = cos θ	اگر دو زاویه متمم باشند (مجموعشان 90°)، سینوس یکی برابر کسینوس دیگری است. به طور مثال sin(90° – 30°) = cos(30°). این رابطه برای تبدیل سینوس به کسینوس (یا برعکس) در بسیاری مسائل (خصوصاً مثلث‌های قائم‌الزاویه) استفاده می‌شود.
cos(90° – θ) = sin θ	کسینوس یک زاویه برابر است با سینوس متمم آن زاویه. برای مثال cos(90° – 45°) = sin(45°). این اتحاد مکمل اتحاد قبلی است و نشان می‌دهد که توابع sin و cos روی زوایای متمم جابجا می‌شوند.
sin(90° + θ) = cos θ	جمع زاویه با 90° آن را به ربع دوم منتقل می‌کند که در آن سینوس به کسینوس تبدیل می‌شود (اما توجه به علامت مهم است). مثلا sin(90° + 30°) = cos(30°). در ربع دوم سینوس مثبت است، بنابراین نتیجه برابر +cos θ شد. این فرمول نیز برای تبدیل سینوس زاویه‌های بزرگتر از 90° به کسینوس یک زاویه کوچکتر کاربرد دارد.
cos(90° + θ) = -sin θ	افزودن 90° به زاویه، کسینوس را به سینوس تبدیل می‌کند اما با علامت منفی (زیرا در ربع دوم کسینوس منفی است). مثلا cos(90° + 30°) = -sin(30°). این رابطه هنگام simplification زاویه‌های 90°+ (مانند 90, 270 و…) مفید است.
sin(180° – θ) = sin θ	اگر دو زاویه مکمل باشند (مجموع 180°)، سینوس‌های آن‌ها برابر است. مثلا sin(180° – 40°) = sin(40°). این اتحاد بیانگر تقارن سینوس نسبت به 90° در دایره مثلثاتی است (سینوس در ربع دوم همان سینوس زاویه متناظر در ربع اول را دارد).
cos(180° – θ) = -cos θ	کسینوس زاویه‌های مکمل (جمع‌شان 180°) از نظر قدرمطلق برابر ولی از نظر علامت مخالف هستند. برای مثال cos(180° – 30°) = -cos(30°). این رابطه نشان می‌دهد کسینوس نسبت به خط 90° قرینه است و در ربع دوم علامتش معکوس ربع اول می‌شود.

فرمول‌های جمع و تفاضل زاویه‌ها

فرمول	توضیح
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B	فرمول‌های جمع و تفاضل سینوس: سینوس مجموع دو زاویه را می‌توان به ترکیبی از سینوس و کسینوس هر یک از زاویه‌ها تبدیل کرد. برای تفاضل، علامت میان دو جمله تغییر می‌کند. این اتحادها برای محاسبهٔ سینوس زاویه‌های غیرمعروف (مثلاً sin 75° با تجزیه به sin(30°+45°)) یا برای ساده‌سازی و حل معادلاتی که شامل sin(A±B) هستند بسیار کاربردی‌اند.
cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B	اتحادهای جمع و تفاضل کسینوس: کسینوس مجموع دو زاویه برابر است با تفاضل حاصل‌ضرب کسینوس‌ها و سینوس‌های آن دو زاویه. در حالت تفاضل زاویه‌ها، علامت وسط به مثبت تغییر می‌کند. این روابط برای محاسبهٔ کسینوس زاویه‌های حاصل‌جمع/تفریق (مثلاً cos 15° = cos(45°-30°)) و همچنین در اثبات اتحادهای دیگر یا حل معادلات مثلثاتی کاربرد دارند.
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A tan B)	فرمول جمع تانژانت: تانژانت مجموع دو زاویه برابر است با مجموع تانژانت‌ها تقسیم بر 1 منهای حاصل‌ضرب آن‌ها. این فرمول زمانی استفاده می‌شود که بخواهیم tan(A+B) را بر حسب tan A و tan B بیان کنیم؛ مثلاً در محاسبهٔ tan(45°+α) یا حل معادلات شامل tan(A+B).
tan(A – B) = (tan A – tan B) / (1 + tan A tan B)	فرمول تفاضل تانژانت: تانژانت تفاضل دو زاویه برابر است با تفاضل تانژانت‌ها تقسیم بر 1 به علاوهٔ حاصل‌ضرب آن‌ها. این اتحاد در حل مسائلی که اختلاف زاویه در تانژانت دارند (مثلاً tan(α – β)) به کار می‌آید. نکته: در هر دو فرمول جمع و تفاضل تانژانت، مخرج نباید صفر شود (یعنی tan A tan B ≠ 1 در جمع و ≠ -1 در تفاضل).

فرمول‌های زاویهٔ دو برابر

فرمول	توضیح
sin(2A) = 2 sin A cos A	اتحاد زاویه دوبرابر برای سینوس: سینوس دو برابر یک زاویه برابر است با دو برابر حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس آن زاویه. این فرمول برای محاسبهٔ sin 2A (مثلاً sin 60° از sin(2×30°)) یا ساده‌کردن معادلات مثلثاتی که sin 2x در آن‌ها ظاهر می‌شود به‌کار می‌رود.
cos(2A) = cos2 A – sin2 A = 2cos2 A – 1 = 1 – 2sin2 A	اتحادهای زاویه دوبرابر برای کسینوس: cos(2A) را می‌توان به سه شکل نوشت. فرم cos2 A – sin2 A مستقیماً از فرمول جمع کسینوس (cos(A+B) با A=B) به‌دست می‌آید. دو فرم دیگر با جایگزینی sin2 A یا cos2 A از اتحاد فیثاغورسی حاصل می‌شوند. در حل معادلات یا ساده‌سازی عبارت‌ها، بسته به اینکه نیاز به حذف sin2 باشد یا cos2، از فرم مناسب استفاده می‌کنیم.
tan(2A) = 2tan A / (1 – tan2 A)	اتحاد تانژانت دوبرابر: tan(2A) را بر حسب tan A بیان می‌کند. کاربرد آن در حل معادلات tan 2x یا تبدیل تانژانت زاویهٔ دو برابر به تانژانت زاویه اصلی است. به عنوان مثال اگر tan x را بدانیم، با این فرمول tan 2x را می‌توان یافت (البته به شرطی که tan A ≠ ±1 تا مخرج صفر نشود).

فرمول‌های زاویهٔ نصف (نیم‌ساز زاویه)

فرمول	توضیح
sin2(A/2) = (1 – cos A) / 2	اتحاد نیم‌زاویه برای سینوس: مجذور سینوس نیمهٔ یک زاویه را بر حسب کسینوس خود زاویه بیان می‌کند. از این فرمول می‌توان برای محاسبهٔ سینوس زاویه‌های نصف (مثلاً sin 15° چون 15=30/2 و cos 30° معلوم است) استفاده کرد. همچنین در ساده‌کردن انتگرال‌ها یا حدهایی که sin2 دارند، این تبدیل کاربرد دارد.
cos2(A/2) = (1 + cos A) / 2	اتحاد نیم‌زاویه برای کسینوس: مجذور کسینوس نیمهٔ یک زاویه را بر حسب کسینوس آن زاویه بیان می‌کند. مثلاً برای محاسبهٔ cos 15° می‌توان از cos2(15°) = (1+cos 30°)/2 بهره برد. این فرمول همچنین در تبدیل cos2 به عبارتی ساده‌تر (جهت انتگرال‌گیری یا حل معادله) به کار می‌آید.
tan(A/2) = sin A / (1 + cos A) = (1 – cos A) / sin A	اتحادهای تانژانت نیم‌زاویه: تانژانت نصف زاویه را می‌توان به دو صورت نوشت (هر دو معادل‌اند). اگر cos A ≠ -1، فرمول sin A/(1+cos A) مناسب است و اگر sin A ≠ 0، از (1-cos A)/sin A استفاده می‌شود. این روابط زمانی مفیدند که بخواهیم مقدار tan(A/2) را از روی sin A و cos A پیدا کنیم.

روابط سینوس و کسینوس بر حسب تانژانت نیم‌زاویه

فرمول	توضیح
sin A = 2 tan(A/2) / (1 + tan2(A/2))	بیان سینوس به کمک تانژانت نیم‌زاویه: این فرمول با جایگذاری tan(A/2) در sin(2 × A/2) به‌دست آمده است. با دانستن tan(A/2) می‌توان sin A را محاسبه کرد. کاربرد ویژهٔ آن در بدست آوردن سینوس زاویه‌های غیرمتعارف است؛ مثلاً برای زاویهٔ 15° که نصف 30° است: tan(7.5°) را اگر بدانیم، sin 15° را سریع می‌یابیم.
cos A = (1 – tan2(A/2)) / (1 + tan2(A/2))	بیان کسینوس به کمک تانژانت نیم‌زاویه: این اتحاد نیز مستقیماً از cos(2u) = (1-tan2 u)/(1+tan2 u) با قرار دادن u=A/2 حاصل شده است. دانستن این فرمول به ما اجازه می‌دهد کسینوس زاویه را از تانژانت نصف آن زاویه پیدا کنیم. به طور مثال برای محاسبهٔ cos 22.5° (نصف 45°) می‌توان tan(11.25°) را به کار برد.
tan A = 2 tan(A/2) / (1 – tan2(A/2))	بیان تانژانت به کمک تانژانت نیم‌زاویه: این فرمول همان اتحاد دوبرابر برای تانژانت است (با A به‌جای 2u). به کمک آن اگر tan(A/2) معلوم باشد می‌توان tan A را حساب کرد. مثلاً اگر tan 15° را داشته باشیم، tan 30° را می‌توانیم بدست آوریم. همچنین در تبدیل معادلات شامل tan2 به حالت ساده‌تر استفاده می‌شود.

فرمول‌های زاویهٔ سه برابر

فرمول	توضیح
sin(3A) = 3 sin A – 4 sin3 A	اتحاد زاویه سه‌برابر برای سینوس: سینوس سه برابر یک زاویه را بر حسب سینوس همان زاویه بیان می‌کند. به عنوان مثال sin 3α را می‌توان با دانستن sin α محاسبه کرد. این فرمول در حل برخی معادلات مثلثاتی درجه‌سه (که sin 3x دارند) یا در بدست آوردن مقادیر سینوس برخی زاویه‌های خاص (مثلاً sin 75° چون 75=3×25 و sin 25 عدد معروفی نیست اما شاید از طریق معادلهٔ درجه۳ قابل محاسبه باشد) به کار می‌آید.
cos(3A) = 4 cos3 A – 3 cos A	اتحاد زاویه سه‌برابر برای کسینوس: کسینوس سه برابر زاویه بر حسب کسینوس همان زاویه بیان می‌شود. مثلاً cos 3θ را می‌توان با داشتن cos θ حساب کرد. این اتحاد نیز در حل معادلاتی که cos 3x دارند یا برای اثبات بعضی اتحادهای دیگر (با استفاده از فرمول‌های دوبرابر و جمع) مورد استفاده قرار می‌گیرد.
tan(3A) = (3tan A – tan3 A) / (1 – 3tan2 A)	اتحاد تانژانت سه‌برابر: تانژانت سه برابر زاویه را بر حسب تانژانت خود زاویه بیان می‌کند. این فرمول کمتر از سینوس و کسینوس سه‌برابر استفاده می‌شود، اما در صورت نیاز می‌تواند tan 3A را مثلاً در حل معادله tan 3x = k قابل محاسبه کند (البته حل مستقیم معادله tan 3x = tan α ساده‌تر است). در هر صورت دانستن این اتحاد برای مسائل پیچیده‌تر مثلثات مفید است.

تبدیل جمع به ضرب (جمع و تفاضل به حاصل‌ضرب)

فرمول	توضیح
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)	جمع دو سینوس را می‌توان به حاصل‌ضرب تبدیل کرد. این فرمول زمانی سودمند است که بخواهیم مجموع دو sin را در حل معادله یا انتگرال‌گیری به صورت ضرب بنویسیم. به طور مثال در انتگرال ∫(sin 5x + sin 3x)dx با استفاده از این اتحاد، مجموع سینوس‌ها به ضرب سینوس و کسینوس تبدیل شده و انتگرال‌گیری ساده‌تر می‌شود.
sin A – sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)	تفاضل دو سینوس نیز به صورت ضرب دو تابع مثلثاتی قابل بیان است. این اتحاد در ساده‌کردن تفاضل سینوس‌ها کاربرد دارد؛ مثلاً در حل معادله sin x – sin 2x = 0 می‌توان ابتدا با این فرمول تفاضل را به ضرب تبدیل کرد و سپس هر کدام را جداگانه صفر قرار داد.
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)	جمع دو کسینوس را می‌توان به حاصل‌ضرب دو کسینوس تبدیل کرد. این فرمول زمانی استفاده می‌شود که بخواهیم cos A + cos B را ساده‌تر کنیم یا در حل معادله/انتگرالی به صورت ضرب درآوریم. برای نمونه cos 5x + cos 3x را می‌توان با این رابطه به 2cos 4x cos x تبدیل کرد که در حل معادله cos 5x + cos 3x = 0 مفید است.
cos A – cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)	تفاضل دو کسینوس نیز قابل تبدیل به ضرب است. توجه شود که یک علامت منفی در ابتدای فرمول ظاهر می‌شود. کاربرد این اتحاد مثلاً در محاسبهٔ cos 5° – cos 3° یا حل معادلاتی نظیر cos x – cos 3x = 0 است. تبدیل به فرم ضرب کمک می‌کند معادله به حاصل‌ضرب sinها تبدیل شود که راحت‌تر قابل حل است (چون هر کدام جداگانه صفر می‌شوند).

تبدیل ضرب به جمع (حاصل‌ضرب به مجموع)

فرمول	توضیح
sin A sin B = 1/2 [cos(A – B) – cos(A + B)]	حاصل‌ضرب دو سینوس را می‌توان به تفاضل دو کسینوس تبدیل کرد. این فرمول اغلب در انتگرال‌گیری از ضرب دو سینوس به‌کار گرفته می‌شود؛ تبدیل به جمع/تفاضل کسینوس‌ها انتگرال‌گیری را ساده‌تر می‌کند. به عنوان مثال برای محاسبهٔ ∫sin 2x sin 3x dx ابتدا آن را به 1/2[cos(x) – cos(5x)] تبدیل کرده و سپس انتگرال می‌گیریم.
cos A cos B = 1/2 [cos(A – B) + cos(A + B)]	حاصل‌ضرب دو کسینوس معادل میانگین جمع کسینوس تفاضل و جمع زاویه‌هاست. این اتحاد نیز در ساده‌سازی حاصل‌ضرب کسینوس‌ها کاربرد دارد. مثلاً در حل انتگرال یا حد شامل cos x cos 2x می‌توان آن را به 1/2[cos(x) + cos(3x)] تبدیل کرد.
sin A cos B = 1/2 [sin(A + B) + sin(A – B)]	حاصل‌ضرب سینوس یک زاویه در کسینوس زاویهٔ دیگر را می‌توان به جمع دو سینوس تبدیل نمود. این اتحاد زمانی به کار می‌آید که ضرب sin در cos داریم (یا برعکس، چون ترتیب ضرب اهمیتی ندارد) و می‌خواهیم آن را ساده کنیم. برای مثال sin 2x cos x = 1/2[sin 3x + sin x] که در حل برخی معادلات یا تبدیل سری‌ها مفید است.

حل معادلات مثلثاتی (فرمول‌های کلی زاویه‌ها)

فرمول	توضیح
sin x = sin α ⟹ x = α + 360°k یا x = 180° – α + 360°k	اگر سینوس دو زاویه برابر باشد، یا زاویه‌ها یکی هستند (با در نظر گرفتن دوره 360°)، یا مکمل یکدیگرند. بنابراین برای حل معادلهٔ sin x = sin α باید دو حالت را در نظر گرفت: یکی x = α + 360°k و دیگری x = 180° – α + 360°k که در آن k هر عدد صحیح (مثبت، منفی یا صفر) است. این فرمول تمامی جواب‌های ممکن را به‌دست می‌دهد. به عنوان مثال معادله sin x = sin 30° دارای جواب‌های x = 30° + 360°k یا x = 150° + 360°k است.
cos x = cos α ⟹ x = α + 360°k یا x = -α + 360°k	برابر بودن کسینوس دو زاویه بدین معنی است که آن دو زاویه متقارن نسبت به محور عمودی (محور y در دایره مثلثاتی) هستند. لذا معادلهٔ cos x = cos α دو دسته جواب کلی دارد: یکی x = α + 360°k (همان زاویه تکرارشونده هر 360°) و دیگری x = -α + 360°k که معادل x = 360° – α + 360°k نیز هست. برای مثال اگر cos x = cos 40° باشد، جواب‌ها x = 40° + 360°k یا x = 320° + 360°k خواهند بود.
tan x = tan α ⟹ x = α + 180°k	مساوی بودن تانژانت دو زاویه به این معناست که زاویه‌ها نسبت به مرکز دایره مثلثاتی هم‌جهت‌اند (اختلافشان مضربی از 180° است). بنابراین تنها حالت ممکن x = α + 180°k است. (در اینجا نیز k عددی صحیح است.) به عنوان نمونه، حل معادلهٔ tan x = tan 30° نتایج x = 30° + 180°k را به‌دست می‌دهد. توجه: برای کتانژانت نیز وضعیت مشابه تانژانت است (دوره 180°) و cot x = cot α نیز منجر به x = α + 180°k می‌شود.

فرمول‌ های مهم حد و پیوستگی در فصل سوم

فصل سوم کتاب ریاضی دوازدهم تجربی با عنوان “حدوپیوستگی” یکی از مباحث پایه ای و از فصل های مهم کتاب دوازدهم می باشد.

این فصل مقدمه ای برای ورود به مفاهیم پیشرفته تری مانند مشتق، دیفرانسیل و حتی انتگرال به شمار می رود و با توجه به این موضوع می توان به میزان اهمیت این مبحث پی برد.

در این فصل با روش های مختلفی برای محاسبه حد مواجه می شویم، از جمله ساده سازی جبری، ضرب در مزدوج، استفاده از فرمول های معروف مثل حد سینوس و حتی روش هوپیتال. علاوه بر این موضوعات یاد می گیریم چطور رفتار تابع رو وقتی متغیر به سمت بی نهایت میره بررسی کنیم.

جدول فرمول‌های حد (ریاضی حسابان)

این جدول شامل فرمول‌های مهم حد در ریاضیات است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

قواعد اصلی حد

فرمول	توضیح
\displaystyle \lim_{x \to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x) \displaystyle \lim_{x \to a}(f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}g(x)	حد مجموع و تفاضل توابع: می‌توانیم حد هر قسمت را جداگانه حساب کرده و سپس نتایج را با هم جمع یا تفریق کنیم. این خاصیت کمک می‌کند حد عبارت‌های پیچیده را با تجزیه به بخش‌های ساده‌تر بیابیم.
\displaystyle \lim_{x \to a} c \cdot f(x) = c \cdot \lim_{x \to a}f(x)	حد ضرب در یک عدد ثابت: اگر c یک عدد ثابت باشد، می‌توان آن را از داخل عملگر حد خارج کرد. به بیان ساده، حد یک تابع ضربدر عدد ثابت برابر است با همان عدد ثابت ضربدر حد تابع.
\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)	حد حاصل‌ضرب: برای محاسبه‌ی حد ضرب دو تابع (در صورتی که هر دو حد موجود باشند) کافی است حد هر کدام را جداگانه یافته و سپس آن‌ها را ضرب کنیم.
\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} \text{(مشروط بر اینکه } \lim_{x \to a}g(x) \neq 0 \text{)}	حد خارج‌قسمت (تقسیم): اگر حد صورت و مخرج موجود باشد و حد مخرج صفر نباشد، آنگاه حد کسر برابر نسبت حدهای صورت و مخرج است. این فرمول برای شکستن یک کسر پیچیده به محاسبات ساده‌تر به‌کار می‌رود.
\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a}f(x)} \text{(برای } n \text{ زوج فرض می‌کنیم حد داخل ریشه نامنفی باشد)}	حد ریشه nام تابع: اگر حد تابع داخل رادیکال موجود باشد، می‌توان ابتدا حد داخل را محاسبه کرده و سپس ریشه گرفت. این قانون بر پیوستگی توابع ریشه‌ای استوار است و برای محاسبه‌ی حدهایی که در آن‌ها رادیکال وجود دارد کاربردی است.

پیوستگی و قضایای حد

فرمول	توضیح
\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a) \text{(اگر جایگذاری مستقیم امکان‌پذیر باشد)}	قاعده‌ی جایگذاری مستقیم (پیوستگی در نقطه): اگر با قرار دادن x=a در تابع به یک عدد مشخص برسیم و صورت کسر یا مخرج صفر نشود (حالت مبهم پیش نیاید)، همان عدد، حد تابع در آن نقطه است. بسیاری از توابع معروف در نقاط خود پیوسته‌اند و می‌توان حد آن‌ها را با جایگذاری مستقیم به‌دست آورد.
\text{اگر برای } x\text{های نزدیک } a \text{ داشته باشیم } g(x) \leq f(x) \leq h(x) \text{ و } \displaystyle \lim_{x\to a}g(x) = \lim_{x\to a}h(x) = L \text{آنگاه } \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = L	قضیه فشردگی (حد ساندویچی): اگر تابع f(x) از بالا و پایین بین دو تابع دیگر محصور شود و حد آن دو تابع در نقطه a برابر یک مقدار L باشد، حد تابع میانی نیز همان L خواهد شد. از این قضیه برای محاسبه‌ی حد توابعی استفاده می‌شود که مستقیماً محاسبه‌شدنی نیستند.

حدهای مثلثاتی مهم

فرمول	توضیح
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1	حد \sin x / x در صفر: این یک حد بنیادی و بسیار مهم است. وقتی x به صفر نزدیک می‌شود، \sin x و x تقریباً برابرند (به radian)، بنابراین نسبت‌شان به ۱ میل می‌کند. به طور کلی اگر زاویه‌ی سینوس ضریبی از x باشد، \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a خواهد بود.
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1	حد \tan x / x در صفر: با میل x به صفر، \sin x \approx x و \cos x \approx 1 می‌شود؛ بنابراین \tan x \approx x و نتیجه می‌شود \frac{\tan x}{x} \to 1. به طور کلی، هر زاویه کوچک بر حسب رادیان، تانژانتش تقریباً با خود زاویه برابر است.
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}	حد (1-\cos x)/x^2 در صفر: در نزدیکی x=0، مقدار \cos x تقریباً برابر 1 - \frac{x^2}{2} است، لذا 1-\cos x تقریباً \frac{x^2}{2} می‌باشد. این حد را می‌توان با استفاده از اتحاد 1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} نیز به‌دست آورد.

حدهای مربوط به توان و رادیکال

فرمول	توضیح
\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1}	حد اختلاف توان‌ها: برای اعداد ثابت a و توان صحیح n، تفاضل x^n - a^n بر x - a بخش‌پذیر است. با فاکتورگیری از اتحادها می‌توان نشان داد نتیجه این حد برابر n \cdot a^{n-1} است. این فرمول در واقع شیب خط مماس بر منحنی y=x^n در نقطه x=a (مشتق) را بیان می‌کند.
\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x} - \sqrt{a}}{x - a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}	حد اختلاف رادیکالی: برای محاسبه‌ی حدهایی از نوع \sqrt{x}-\sqrt{a} که به صورت 0/0 درمی‌آیند، می‌توان صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب کرد. به طور مشخص، \displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} و با میل x به a به \frac{1}{2\sqrt{a}} نزدیک می‌شود.

حدهای نمایی و لگاریتمی

فرمول	توضیح
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}a^x = \begin{cases}0 &0<a<1\\ +\infty &a>1\end{cases} \displaystyle \lim_{x\to -\infty}a^x = 0 \text{ (اگر } a>1 \text{)} \text{همچنین } \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty \text{ و } \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty	حد توابع نمایی و لگاریتمی: در پایه‌های بزرگتر از ۱، تابع نمایی به سرعت رشد کرده و به +\infty میل می‌کند. اگر پایه بین ۰ و ۱ باشد (نمایی کاهشی)، خروجی به صفر نزدیک می‌شود. در مورد لگاریتم طبیعی، هنگامی که x به بی‌نهایت می‌رود، لگاریتم نیز بدون کران رشد می‌کند، و وقتی x به صفر از راست نزدیک شود، به منفی بی‌نهایت نزول می‌کند.
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1	حد \frac{e^x - 1}{x} در صفر: با نزدیک شدن x به ۰، مقدار e^x را می‌توان به صورت 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots در نظر گرفت که برای x بسیار کوچک، e^x \approx 1 + x. بنابراین e^x - 1 \approx x و نسبتشان به ۱ میل می‌کند. این حد برابر با شیب تابع نمایی e^x در صفر نیز می‌باشد.
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln(a)	حد \frac{a^x - 1}{x} در صفر: این فرمول نشان می‌دهد برای هر عدد مثبت a، میزان رشد تابع a^x در نزدیکی صفر با \ln(a) متناسب است. به بیان دیگر می‌توان نوشت a^x = e^{x\ln a} و برای x کوچک e^{x\ln a} \approx 1 + x\ln a؛ لذا \frac{a^x - 1}{x} \approx \ln a.
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1	حد \frac{\ln(1+x)}{x} در صفر: برای x بسیار کوچک، \ln(1+x) تقریباً برابر x است (چرا که شیب لگاریتم در صفر برابر ۱ است). بنابراین این نسبت به ۱ میل می‌کند. در حالت کلی‌تر، \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+ax)}{x} = a که نشان می‌دهد \ln(1+ax) و ax رفتار مشابهی نزدیک صفر دارند.
\displaystyle e = \lim_{n \to \infty}\Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^{n}	تعریف عدد نپر (e): عدد e را می‌توان به صورت حد فوق تعریف کرد. این حد نشان می‌دهد اگر بهره‌ی مرکب را به تعداد دفعات بیشتری در سال دریافت کنیم (با مقدار کم‌تر در هر دفعه)، در حالت حدی به ضریب رشد e نزدیک می‌شویم. مقدار e \approx 2.71828 است. به طور کلی‌تر، \displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(1 + \frac{k}{n}\Big)^{n} = e^{k}

قاعده هوپیتال

فرمول

توضیح

\text{اگر } \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) \text{ و } \displaystyle \lim_{x\to a}g(x) \text{ هر دو به } 0 \text{ (یا هر دو به } \pm\infty \text{) میل کنند، آن‌گاه} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \text{(به شرط آن‌که حد سمت راست موجود باشد).}

قاعده‌ی هوپیتال (L’Hôpital’s Rule): این قاعده ابزاری قدرتمند برای محاسبه‌ی حدهای مبهم از نوع \frac{0}{0} یا \frac{\infty}{\infty} است. طبق این قاعده اگر با جایگذاری مستقیم در \frac{f(x)}{g(x)} صورت و مخرج هر دو به صفر (یا هر دو به بی‌نهایت) برسند، می‌توان حد را با مشتق‌گیری از صورت و مخرج به دست آورد. برای سایر حالت‌های مبهم نیز معمولاً با تبدیل آن‌ها به یکی از دو حالت 0/0 یا \infty/\infty و سپس به‌کارگیری قاعده‌ی هوپیتال، حد را محاسبه می‌کنیم.

مجموعه کامل فرمول ‌های مشتق در فصل چهارم

جدول فرمول‌های مشتق (ریاضی حسابان)

این جدول شامل فرمول‌های مهم مشتق و کاربردهای آن در ریاضیات است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

تعاریف اولیه مشتق

فرمول	توضیح
f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}	تعریف مشتق: شیب خط مماس بر نمودار تابع f در نقطه x=a را نشان می‌دهد. این حد، نرخ تغییر آنی تابع در a است.
\text{اگر } f \text{ در } x=a \text{ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه } f \text{ در } x=a \text{ پیوسته است.}	ارتباط مشتق‌پذیری و پیوستگی: وجود مشتق در نقطه a تضمین می‌کند که تابع در آن نقطه گسستگی ندارد (هر مشتق‌پذیری مستلزم پیوستگی است).

قواعد اصلی مشتق‌گیری

فرمول	توضیح
\frac{d}{dx}[c] = 0	مشتق تابع ثابت: مشتق هر تابع ثابت (y=c) صفر است، چون تابع ثابت هیچ تغییری نسبت به x ندارد.
\frac{d}{dx}[x] = 1	مشتق تابع همانی: مشتق تابع y=x برابر ۱ است. شیب خط y=x در همه جا ۱ بوده و نرخ تغییر آن ثابت است.
\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}	قاعده توان: اگر n یک ثابت باشد، مشتق x^n برابر n x^{n-1} است. این فرمول روش سریع محاسبه مشتق توابع توانی را فراهم می‌کند (مثلاً برای x^2 مشتق 2x و برای \sqrt{x} مشتق \frac{1}{2\sqrt{x}} خواهد بود).
\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)	ضریب ثابت: در مشتق‌گیری، ضریب ثابت را می‌توان خارج کشید. یعنی اگر تابعی در عدد ثابت c ضرب شده باشد، مشتق آن برابر همان c ضربدر مشتق تابع است.

قواعد ترکیب توابع

فرمول	توضیح
\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)	قاعده جمع و تفریق: مشتق جمع (یا تفاضل) دو تابع برابر جمع (یا تفاضل) مشتق‌های آن‌ها است. می‌توان مشتق هر بخش را جداگانه حساب کرده و نتایج را جمع/تفریق کرد.
\frac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)	قاعده ضرب: مشتق حاصل‌ضرب دو تابع، برابر است با مشتق تابع اول ضربدر تابع دوم به علاوهٔ تابع اول ضربدر مشتق تابع دوم. این فرمول برای مشتق‌گیری توابعی که به شکل ضرب هستند استفاده می‌شود.
\displaystyle\frac{d}{dx}\Big[\frac{f(x)}{g(x)}\Big] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}	قاعده خارج‌قسمت: برای مشتق‌گیری از نسبت دو تابع، مشتق صورت در مخرج ضرب و مشتق مخرج در صورت ضرب می‌شود و سپس تفریق کرده، بر مربع مخرج تقسیم می‌کنیم. به زبان ساده: مشتق \frac{f}{g} برابر \frac{f' g - f g'}{g^2} است.
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)	قاعده زنجیره‌ای: مشتق ترکیب توابع (تابع مرکب) برابر است با مشتق تابع بیرونی به ازای تابع داخلی ضربدر مشتق تابع داخلی. مثلاً برای y=\sin(2x)، مشتق برابر \cos(2x)\times 2 می‌شود. این قاعده برای مشتق‌گیری توابع پیچیده به کار می‌رود.

مشتق توابع مثلثاتی

فرمول	توضیح
\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x	مشتق سینوس: مشتق \sin x برابر \cos x است. یعنی شیب نمودار \sin x در هر نقطه برابر مقدار \cos x در همان نقطه می‌باشد (نتیجه مهمی در مشتق توابع مثلثاتی).
\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x	مشتق کسینوس: مشتق \cos x برابر -\sin x است. علامت منفی نشان می‌دهد که \cos x در جهت عکس \sin x تغییر می‌کند (هرجا \sin x افزایشی است، \cos x کاهشی است).
\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}	مشتق تانژانت: مشتق \tan x برابر \frac{1}{\cos^2 x} است. این فرمول با استفاده از تعریف \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} و به‌کارگیری قاعده خارج‌قسمت به دست می‌آید. (به طور مشابه، \frac{d}{dx}[\cot x] = -\csc^2 x خواهد بود.)

کاربردهای مشتق

فرمول	توضیح
\text{برای مثال، اگر } F(x,y)=0 \text{ آنگاه } \displaystyle\frac{dF}{dx} = F_x + F_y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \text{ که منجر به } \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \text{ می‌شود.}	مشتق‌گیری ضمنی: برای یافتن مشتق y بر حسب x وقتی y به صورت ضمنی (نه صریح) داده شده، دو طرف معادله را نسبت به x مشتق می‌گیریم. در این روش هر جا y را مشتق کنیم یک \frac{dy}{dx} (یا y') ظاهر می‌شود. به عنوان نمونه، از معادله x^2 + y^2 = r^2 مشتق ضمنی گرفته و 2x + 2yy' = 0 نتیجه می‌شود که در نهایت y' = -\frac{x}{y} را به دست می‌دهد.
v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}	سرعت لحظه‌ای: اگر s(t) بیانگر مکان (مسافت پیموده‌شده) بر حسب زمان باشد، مشتق آن نسبت به t سرعت لحظه‌ای را می‌دهد. یعنی آهنگ تغییر مکان در لحظهٔ t برابر مقدار مشتق s در آن لحظه است. این یک کاربرد مستقیم مشتق در فیزیک است.
\text{معادلهٔ خط مماس: } y - f(a) = f'(a)(x - a)	شیب خط مماس: مشتق تابع در نقطه a همان شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است. با داشتن f'(a)، می‌توان معادله خط مماس را به صورت بالا نوشت که خطی را با شیب f'(a) در گذر از نقطه (a,f(a)) توصیف می‌کند.
\text{اگر } c \text{ اکسترمم محلی } f \text{ باشد و } f'(c) \text{ موجود باشد، آنگاه } f'(c) = 0\text{.}	شرط اکسترمم (نقطه بحرانی): برای اینکه نقطه‌ای از تابع بیشینه یا کمینه محلی باشد، نرخ تغییر تابع در آن نقطه باید صفر شود. بنابراین در اکسترمم‌های داخلی که مشتق‌پذیرند، مشتق برابر صفر است (نقاطی که در آن‌ها f'(x)=0 یا مشتق وجود ندارد را نقاط بحرانی می‌نامیم).

فرمول های فصل پنجم: کاربرد های مشتق

جدول فرمول‌های مشتق (ریاضی حسابان)

این جدول شامل فرمول‌های مهم مشتق در ریاضیات است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

تعاریف پایه مشتق

فرمول	توضیح
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}	تعریف مشتق: این فرمول نشان می‌دهد که مشتق تابع در نقطه a برابر با نرخ تغییر تابع در آن نقطه است.
f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}	تعریف مشتق در نقطه: مشتق تابع در نقطه a از طریق این فرمول به‌صورت عمومی محاسبه می‌شود.

کاربردهای هندسی و فیزیکی مشتق

فرمول	توضیح
y = f'(x) \cdot (x - a) + f(a)	معادله خط مماس: این فرمول برای نوشتن معادله خط مماس در نقطه a استفاده می‌شود. شیب این خط برابر با f'(a) است.
y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)	شیب خط مماس در نقطه خاص: این فرمول برای نوشتن معادله خط مماس در نقطه x_0 با شیب f'(x_0) استفاده می‌شود.
v(t) = \frac{ds}{dt}	سرعت لحظه‌ای: مشتق مکان نسبت به زمان، سرعت لحظه‌ای را می‌دهد.

فرمول‌های مشتق توابع پایه

فرمول	توضیح
\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}	مشتق توابع توانی: این فرمول برای یافتن مشتق توابعی از شکل x^n استفاده می‌شود.
\frac{d}{dx}[e^x] = e^x	مشتق تابع نمایی: مشتق تابع نمایی e^x برابر خود تابع است.
\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}	مشتق لگاریتم طبیعی: مشتق تابع \ln x برابر \frac{1}{x} است.

مشتق توابع مثلثاتی

فرمول	توضیح
\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x	مشتق سینوس: مشتق تابع \sin x برابر با \cos x است.
\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x	مشتق کسینوس: مشتق تابع \cos x برابر با -\sin x است.
\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x	مشتق تانژانت: مشتق تابع \tan x برابر با \sec^2 x است.

قواعد مشتق‌گیری ترکیبی

فرمول	توضیح
f(x) = x^3 - 3x + 2 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 3	مشتق توابع چندجمله‌ای: مشتق تابع چندجمله‌ای به‌صورت انجام مشتق هر جمله به تنهایی محاسبه می‌شود.
\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}	قاعده خارج‌قسمت: مشتق نسبت دو تابع به‌صورت فرمولی بیان می‌شود که شامل مشتق صورت و مخرج است.

فرمول‌ های هندسه در فصل ششم

جدول فرمول‌های هندسه

این جدول شامل فرمول‌های مهم هندسی است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

دایره و کره

فرمول	توضیح
P = 2 \pi r	محیط دایره: محیط دایره برابر است با ۲ برابر عدد پی (\pi) ضرب در شعاع (r) دایره.
A = \pi r^2	مساحت دایره: مساحت دایره برابر است با عدد پی (\pi) ضرب در مربع شعاع (r^2).
V = \frac{4}{3} \pi r^3	حجم کره: حجم کره برابر است با \frac{4}{3} ضربدر عدد پی (\pi) و ضربدر مکعب شعاع (r^3).
A = 4 \pi r^2	مساحت سطح کره: مساحت سطح کره برابر است با ۴ برابر عدد پی (\pi) ضربدر مربع شعاع (r^2).
A = \frac{1}{2} r^2 \theta	مساحت بخش دایره: مساحت بخش دایره که توسط یک زاویه \theta ایجاد می‌شود، برابر است با نصف ضرب شعاع دایره (r^2) در زاویه (\theta) به رادیان.
s = r \theta	طول قوس دایره: طول قوس دایره که توسط زاویه \theta در دایره‌ای با شعاع r ساخته شده است برابر با ضرب شعاع در زاویه به رادیان (r \theta).
\text{زاویه بین دو دایره} = \text{زاویه مرکزی}	زاویه بین دو دایره: زاویه بین دو دایره در صورتی که دو دایره از یک نقطه مشترک باشند برابر با زاویه مرکزی آن دایره است.

مثلث و نسبت‌های مثلثاتی

فرمول	توضیح
A = \frac{1}{2} b h	مساحت مثلث: مساحت مثلث برابر است با نصف ضرب طول قاعده (b) در ارتفاع (h) مثلث.
c^2 = a^2 + b^2	قانون فیثاغورس: در مثلث قائم‌الزاویه، مربع طول وتر (c) برابر است با مجموع مربع طول دو ساقه (a و b).
\text{زاویه خارجی} = \text{جمع دو زاویه داخلی غیرمجاور}	زاویه خارجی مثلث: زاویه خارجی یک مثلث برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور آن مثلث است.
\sin(\theta) = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{هیپوتنوز}}	نسبت سینوس: در مثلث قائم‌الزاویه، سینوس یک زاویه (\theta) برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به طول هیپوتنوز.
\cos(\theta) = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{هیپوتنوز}}	نسبت کسینوس: در مثلث قائم‌الزاویه، کسینوس یک زاویه (\theta) برابر است با نسبت طول ضلع مجاور به طول هیپوتنوز.
\tan(\theta) = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}	نسبت تانژانت: در مثلث قائم‌الزاویه، تانژانت یک زاویه (\theta) برابر است با نسبت طول ضلع مقابل به طول ضلع مجاور.

اشکال هندسی دیگر

فرمول	توضیح
\text{مساحت متوازی‌الاضلاع} = b h	مساحت متوازی‌الاضلاع: مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است با ضرب طول قاعده در ارتفاع.
\text{مساحت ذوزنقه} = \frac{1}{2} (b_1 + b_2) h	مساحت ذوزنقه: مساحت ذوزنقه برابر است با نصف ضرب مجموع طول دو قاعده در ارتفاع.
\text{حجم هرم} = \frac{1}{3} A_b h	حجم هرم: حجم هرم برابر است با یک‌سوم مساحت قاعده آن (A_b) ضربدر ارتفاع (h) هرم.
\text{حجم مخروط} = \frac{1}{3} \pi r^2 h	حجم مخروط: حجم مخروط برابر است با یک‌سوم حاصلضرب عدد پی (\pi) در مربع شعاع (r^2) و ارتفاع (h) مخروط.

فرمول‌ های احتمال در فصل هفتم

جدول فرمول‌های احتمال

این جدول شامل فرمول‌های مهم احتمال است که به همراه توضیح ساده‌ای برای مفهوم و کاربرد هر فرمول ارائه شده است.

تعاریف پایه احتمال

فرمول	توضیح
P(A) = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد حالت‌های ممکن}}	تعریف احتمال: احتمال وقوع یک رویداد A برابر است با نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد حالت‌های ممکن.
P(A^c) = 1 - P(A)	احتمال مکمل: احتمال وقوع رویداد مکمل A^c برابر با یک منهای احتمال وقوع A.
P(A) = 1 - P(A^c)	احتمال مکمل: احتمال وقوع رویداد A برابر با یک منهای احتمال وقوع مکمل آن.

قوانین جمع و ضرب احتمال

فرمول	توضیح
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)	قانون جمع احتمال: احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای A یا B برابر است با مجموع احتمال هر یک منهای احتمال تداخل آن‌ها.
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)	قانون ضرب احتمال: احتمال وقوع همزمان دو رویداد A و B برابر است با احتمال وقوع A ضرب در احتمال وقوع B به شرط وقوع A.
P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)	قانون جمع برای سه رویداد: احتمال وقوع حداقل یکی از سه رویداد A، B و C به‌طور کلی از طریق این فرمول محاسبه می‌شود.

احتمال شرطی و رویدادهای مستقل

فرمول	توضیح
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}	احتمال شرطی: احتمال وقوع رویداد B به شرط وقوع رویداد A برابر است با نسبت احتمال وقوع همزمان آن‌ها به احتمال وقوع A.
P(\text{اتفاقات مستقل}) = P(A) \cdot P(B)	احتمال وقوع رویدادهای مستقل: برای رویدادهای مستقل، احتمال وقوع همزمان آن‌ها برابر با حاصل‌ضرب احتمال‌های آن‌ها است.
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)	احتمال تقاطعی برای رویدادهای مستقل: اگر A و B مستقل باشند، احتمال وقوع همزمان آن‌ها برابر با حاصل‌ضرب احتمال‌های هرکدام است.

احتمال در حالت‌های خاص

فرمول	توضیح
P(\text{یک واحد از میان } n \text{ انتخاب}) = \frac{1}{n}	احتمال یک انتخاب از n: در یک فضای ممکن که شامل n انتخاب است، احتمال انتخاب یک واحد برابر با \frac{1}{n} است.
P(\text{انجام یک عمل با دو نتیجه ممکن}) = \frac{1}{2}	احتمال دو نتیجه‌ای: وقتی یک رویداد تنها دو نتیجه ممکن دارد (مثل پرتاب سکه)، احتمال هر یک از نتایج برابر با \frac{1}{2} است.

ترکیبیات در احتمال

فرمول	توضیح
\text{تعداد جایگشت‌های } n \text{ شیء} = n!	تعداد جایگشت‌ها: تعداد تمام ترتیب‌های ممکن از n شیء برابر است با فاکتوریل n (n!).
\text{تعداد ترکیب‌های } k \text{ از } n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}	تعداد ترکیب‌ها: تعداد راه‌های انتخاب k شیء از مجموع n شیء، بدون توجه به ترتیب، برابر است با \binom{n}{k} که با فرمول فاکتوریل محاسبه می‌شود.