دنباله‌ های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی

دنباله ‌های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی یکی از مباحث کلیدی و پایه ‌ای این مقطع تحصیلی است که یادگیری آن برای موفقیت در ریاضی بسیار اهمیت دارد. این مبحث شامل موضوعاتی مانند تعریف دنباله حسابی و هندسی، فرمول‌ های مربوط به آن ‌ها و تفاوت ‌های میان تصاعد هندسی و حسابی است که در آموزش ریاضی کنکور تدریس می شود. در این مطلب، قصد داریم به آموزش مفاهیم اساسی این مبحث به زبانی ساده و روان بپردازیم.

در ادامه، فرمول‌ های دنباله حسابی و هندسی به تفصیل بررسی خواهند شد و برای درک بهتر، حداقل چند نمونه سؤال متنوع حل خواهد شد. علاوه بر این، به اشتباهات رایج دانش‌ آموزان در حل این سوالات و نکات مهمی که در حل مسائل باید به آن ‌ها توجه کرد، پرداخته می ‌شود. این مقاله تلاش می ‌کند تا با ارائه مثال ‌های کاربردی و تمرینات عملی، مسیر یادگیری این بخش از ریاضی دهم تجربی را برای شما هموارتر کند.

برای یادگیری کامل و تسلط بر مباحث پایه دهم آموزش ریاضی دهم، دوره سالیانه را از اینجا دنبال کنید.

تعریف دنباله حسابی و هندسی

دنباله حسابی:

دنباله ‌های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی از مطالب مهمی است که معمولا به صورت مستقل از آن سوال مطرح می شود.

الگویی که در دنباله حسابی شکل می گیرد به گونه ای است که فاصله بین اعداد یک مقدار ثابت است.

یعنی شما با داشتن جمله اول و مقدار ثابتی که به هر جمله اضافه می شود تا جمله بعد حاصل شود می توانید دنباله حسابی مدنظر خود را ادامه دهید.

اگر بخواهیم دنباله حسابی را به شکل عمومی نمایش دهیم به صورت زیر خواهد بود. 

a_1, a_1+d, a_1+2 d, a_1+3 d, \ldots

در این عبارت a جمله اول دنباله و d قدر نسبت دنباله است.

سوالی که ممکن است برای شما پیش آمده باشد این است که قدر نسبت در دنباله حسابی چیست؟

قدر نسبت در دنباله حسابی یک مقدار ثابت از که از اختلاف دو جمله متوالی دنباله به دست می آید.

عبارت های جبری ریاضی دهم تجربی از دیگر مباحث مهم و اساسی پایه دهم است که برای مسائل ترکیبی باید حتما تسلط کافی در آن داشته باشید.

فرمول محاسبه قدر نسبت در دنباله حسابی:

d=a_{n+1}-a_n

اگر یک دنباله حسابی نزولی باشد یعنی اعداد کوچک تر شوند، قدر نسبت منفی خواهد بود که نشان دهنده دنباله نزولی است.

سوالی که برای شما پیش می آید این است دنباله ها در ترتیب مطالعه مباحث ریاضی برای کنکور در کدام قسمت قرار خواهد گرفت؟!

دنباله هندسی:

الگوی عددی تشکیل دهنده دنباله هندسی به گونه ای است که هر جمله از ضرب جمله قبلی در ضرب یک عدد ثابت به دست می آید.

به این توالی به دست آمده دنباله هندسی و به عدد ثابتی که جملات در آن ضرب می شود قدر نسبت دنباله هندسی گفته می شود.

فرمول محاسبه قدر نسبت در دنباله هندسی:

r=\frac{a_{n+1}}{a_n}

نمایش عمومی دنباله هندسی به صورت است:

a_1, a_1 \times r, a_1 \times r^2, a_1 \times r^3, \ldotsدر این عبارت جمله اول دنباله a_1 و r قدر نسبت دنباله است.

• دنباله هندسی زمانی صعودی است که مقدار جمله ها به تدریج افزایش پیدا کند.

اگر r>1, a_1>0

مثال: دنباله … ,2,4,8,16

جمله اول دنباله 2 و قدر نسبت آن نیز 2 است و جملات به تدریج بزرگ تر می شود.

اگر r<-1, a_1<0 

مثال: دنباله … , 54 , 18_ , 6 , 2_

جمله اول دنباله 2_ و قدر نسبت 3_ است.

مقدار جملات از نظر اندازه افزایش می یابد، ولی علامت جملات متناوب تغییر می کند.

• یک تصاعد هندسی زمانی نزولی است که مقدار جمله ها به تدریج کاهش یابد.

اگر 0<r<1

مثال: دنباله … , 1 , 2 , 4 , 8

جمله اول دنباله 8 و قدر نسبت آن 0.5 است و مقدار جملات به تدریج کوچکتر می شود و به صفر نزدیک می شود

اگر  -1<r<0

مثال: دنباله … , 1_ , 2 , 4_ , 8

جمله اول دنباله 8 و قدر نسبت آن 0.5_ است. جملات از نظر اندازه کوچک شده و علامت آن ها تغییر می کند.

به طور کلی در یک دنباله هندسی روابط زیر برقرار است.به

صعودی : r<-1 \text { يا } r>1
نزولی : -1<r<0 \text { یا } 0<r<1
متناوب : r<0
ثابت : r=1

مطالعه الگو و دنباله برای موفقیت در کنکور و رسیدن به سوال چگونه ریاضی کنکور ریاضی را 100 بزنیم؟ ضروری است.

فرمول های دنباله حسابی و هندسی:

دنباله حسابی و هندسی، دو نوع توالی مهم در ریاضیات هستند که در آن ‌ها جملات بر اساس الگو های مشخصی تولید می ‌شوند. فرمول‌ های دنباله حسابی و هندسی اگرچه هدف مشترکی در توصیف توالی اعداد دارند، اما به شیوه ‌های متفاوتی عمل می‌ کنند.

آموزش دایره مثلثاتی از مهم ترین مباحثی است که اکثر دانش آموزان در آن نیز با مشکل روبرو می شوند.

فرمول‌های دنباله حسابی

در ابتدا برای تشخیص نوع معادله و در جهت اینکه مطمئن شوید دنباله از نوع حسابی است باید اختلاف هر دو جمله متوالی را بدست آوریم. اگر این اعداد یکسان بود این دنباله یک تصاعد حسابی خواهد بود.

با داشتن یک سری اطلاعات پایه از دنباله می توان اطلاعات دیگری از دنباله را نیز پیدا کرد.

شما می توانید با داشتن جمله اول و قدر نسبت یک دنباله هر جمله ای از آن دنباله را پیدا کنید یا به اصطلاح جمله n ام یک دنباله را به دست آوریم.

• در یک تصاعد حسابی اگر a اولین عدد دنباله و d قدر نسبت باشد، جمله عمومی یا جمله n ام تصاعد حسابی به شکل زیر محاسبه می شود:

• اگر a_n, a_m دو جمله از دنباله حسابی باشند و n<m باشد؛ قدر نسبت آن را با فرمول زیر بدست می آوریم:

• دنباله حسابی به ما داده شده است که اولین و آخرین جمله آن را داریم و قدر نسبت نیز به ما داده شده است. با استفاده از فرمول زیر می توانیم تعداد جملات دنباله را به دست آوریم:

• سوالی از ما مجموع n جمله اول یک دنباله را از ما خواسته است. با فرمول زیر می توانیم به سوال پاسخ بدهیم:

فرمول‌های دنباله هندسی

برای تشخیص یک دنباله هندسی کافیست که نسبت دو جمله متوالی را محاسبه کنیم و اگر مقدار به دست آمده یکسان بود دنباله مورد نظر هندسی است.

• شما می توانید با داشتن جمله اول و قدر نسبت یک دنباله هر جمله ای از آن دنباله را پیدا کنید یا به اصطلاح جمله n ام یک دنباله را به دست آوریم.

• محاسبه قدر نسبت (r)

• سوالی از ما مجموع n جمله اول یک دنباله را از ما خواسته است. با فرمول زیر می توانیم به سوال پاسخ بدهیم:

به شرط: (r \neq 1)

یا اگر : :|r|<1

• محاسبه تعداد جملات (n):

اگر جمله اول و دوم دنباله و علاوه بر آن قدر نسبت دنباله مشخص باشند، داریم:

تفاوت تصاعد هندسی و حسابی

پس از آشنایی با انواع دنباله مبحث ضروری ای که باید به تسلط کافی در آن برسید آموزش مجموعه متناهی و نامتناهی است تا در مبحث مهم پایه دهم بسته شود.

اولین موضوعی که این دو دنباله در آن با یکدیگر تفاوت دارند تعریف هر دنباله است.

• همانطور که در بالا اشاره شد دنباله تصاعد حسابی به دنباله ای گفته می شود که هر جمله آن با افزودن یک مقدار ثابت (d قدر نسبت) به جمله قبلی به دست می آید.
• اما تصاعد هندسی دنباله ای است که هر جمله آن از ضرب جمله قبلی در مقداری ثابت به دست می آید.
• در دنباله حسابی اختلاف هر دو جمله متوالی ثابت است اما در دنباله هندسی نسبت بین هر دو جمله متوالی ثابت است.
• در دنباله حسابی جملات به صورت خطی افزایش یا کاهش می یابند.

اگر : d>0 دنباله صعودی است.
اگر : d<0 دنباله نزولی است.

• در دنباله هندسی جملات به صورت نمایی افزایش یا کاهش می یابد.

اگر : r>1 دنباله صعودی است و با سرعت زیاد رشد می کند.
اگر : 0<r<1 دنباله نزولی است و به سمت صفر میل می کند.
اگر : r<0 دنباله متناوب است و علامت جملات بین مثبت و منفی تغییر می کند.

• در دنباله حسابی:

دنباله حسابی رشد یا کاهش خطی دارد.

جملات به صورت ثابت به مقدارd  افزوده یا کاسته می‌شوند.

• در دنباله هندسی:

دنباله هندسی رشد یا کاهش نمایی دارد.

جملات به صورت نمایی افزایش یا کاهش می‌یابند. (با سرعت بیشتری نسبت به دنباله حسابی تغییر می‌کنند)

حل نمونه سوال دنباله حسابی و هندسی ریاضی دهم

مثال 1:

دنباله ای شامل اعداد زیر داریم:
3,7,11,15, \ldots
جمله اول \left(a_1\right) : 3
قدر نسبت :(d) 7-3=4
محاسبات:
1. جمله عمومی :\left(a_n\right)
a_n=a_1+(n-1) \times d=3+(n-1) \times 4 برای مثال، جمله پنجم برابر است با:
a_5=3+(5-1) \times 4=19> 2. مجموع 5 جمله اول:
S_5=\frac{5}{2} \times(2 \times 3+(5-1) \times 4)=\frac{5}{2} \times(6+16)=\frac{5}{2} \times 22=55

مثال 2:

دنباله ای شامل اعداد زیر داریم:
2,6,18,54, \ldots
جمله اول:\left(a_1\right) 2
قدر نسبت (r): 6 / 2=3
محاسبات:
1. جمله عمومی :\left(a_n\right)
a_n=a_1 \times r^{(n-1)}=2 \times 3^{(n-1)}
برای مثال، جمله چهارم برابر است با:
a_4=2 \times 3^{(4-1)}=2 \times 27=54
2. مجموع چهار جمله اول:  S_4=a_1 \times \frac{r^4-1}{r-1}=2 \times \frac{3^4-1}{3-1}=2 \times \frac{81-1}{2}=2 \times 40=80

مثال 3 :

دنباله ای شامل اعداد زیر داریم:
-2,6,-18,54, \ldots
جمله اول :\left(a_1\right) 2_
قدر نسبت (r) : 6 /-2=-3
محاسبات:
1. جمله عمومی:
a_n=a_1 \times r^{(n-1)}=-2 \times(-3)^{(n-1)}
برای مثال، جمله پنجم برابر است با:
a_5=-2 \times(-3)^{(5-1)}=-2 \times 81=-162
مجموع سه جمله اول:
S_3=a_1 \times \frac{r^3-1}{r-1}=-2 \times \frac{(-3)^3-1}{-3-1}=-2 \times \frac{-27-1}{-4}=-2 \times \frac{-28}{-4}=-2 \times 7=-14

مثال 4:

دنباله ای شامل اعداد زیر داریم:
10,7,4,1, \ldots
جمله اول :\left(a_1\right) 10
قدر نسبت (d): 7-10=-3
محاسبات:
1. جمله عمومی:
a_n=a_1+(n-1) \times d=10+(n-1) \times(-3)
برای مثال، جمله ششم برابر است با:
a_6=10+(6-1) \times(-3)=10-15=-5
2. مجموع 6 جمله اول:
S_6=\frac{6}{2} \times(2 \times 10+(6-1) \times-3)=3 \times(20-15)=3 \times 5=15

حل نمونه سوال الگو و دنباله ریاضی دهم می تواند تسلط شما را در این مبحث بیشتر کند و با حل سوالات بیشتر با تیپ بندی بیشتری از سوالات الگو و دنباله آشنا شوید.

اشتباهات رایج دانش آموزان برای حل سوالات دنباله حسابی و هندسی

• اشتباه در شناسایی نوع دنباله

برخی از دانش آموزان معمولا به دلیل تسلط کم و یا بررسی ناقص الگو دنباله را اشتباه تشخیص می دهند.

• اشتباه در جایگذاری مقادیر در فرمول‌ها

برخی از دانش آموزان از فرمول اشتباه برای یک سوال استفاده می کنند و یا در نحوه تشخیص اجزای فرمول اشتباه می کنند و مقادیر را به صورت جابجا در فرمول جایگذاری می کنند.

• نادیده گرفتن علامت جملات یا قدرنسبت

بی توجهی در علامت قدر نسبت از اشتباه برخی دیگر از دانش آموزان است که باعث قرار گرفتن در مسیر اشتباه برای حل سوال می شود.

• اشتباه در حل مسائل ترکیبی

سوالاتی است که بصورت ترکیبی از دنباله حسابی و هندسی مطرح می شود و تعدادی از دانش آموزان فرمول ها را به صورت جابجا برای هر دنباله بکار می برند.

پس:

• نوع دنباله (حسابی یا هندسی) را به ‌درستی شناسایی کنید.
• علامت ‌ها (مثبت یا منفی بودن قدر نسبت و جملات) را با دقت در نظر بگیرید.
• از فرمول‌ های مناسب برای نوع دنباله استفاده کنید.
• در مسائل ترکیبی، تمام اطلاعات را به‌درستی تحلیل کنید.
• پاسخ ‌ها را با شرایط سوال تطبیق دهید و در صورت لزوم، مجددا محاسبات را بررسی کنید.

در انتها شما می توانید برای اینکه مطالب خوانده شده ریاضی مانند الگو و دنباله به صورت خلاصه و کوتاه داشته باشید خلاصه نویسی ریاضی کنکور را مطالعه کنید.