درس شمارش ریاضی دوازدهم انسانی
درس شمارش ریاضی دوازدهم انسانی یکی از مباحث کلیدی و چالش برانگیز در رشته علوم انسانی است که نه تنها در برنامه درسی، بلکه در موفقیت دانش آموزان در کنکور سراسری نیز نقش تعیین کننده ای دارد.
این درس با ارائه مفاهیم پایه ای شمارش، ترکیبیات و احتمال، دانش آموزان را با ابزار های قدرتمندی برای تحلیل مسائل پیچیده آشنا می کند. درک عمیق این مفاهیم نه تنها به حل سوالات کنکور کمک می کند، بلکه توانایی تفکر منطقی و تحلیلی دانش آموزان را نیز تقویت می نماید.
بهترین معلم ریاضی شیراز و کشور در درس آمار و احتمال ریاضی دوازدهم کیست؟ کسی که بتواند با تفکری منطقی، به فکر تقویت ریاضی کنکور دانش آموزان در جهت کسب درصد بالا عمل کند.
درس شمارش ریاضی دوازدهم انسانی با ارائه اصولی مانند اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت و ترکیب، پایه های لازم برای حل مسائل پیچیده تر را فراهم می کند
در این مطلب، به بررسی جامع درس شمارش ریاضی دوازدهم انسانی می پردازیم. از مبانی پایه ای شروع می کنیم و به تدریج به سراغ مفاهیم پیشرفته تر و تکنیک های حل مسئله خواهیم رفت. همچنین، با ارائه مثال های کاربردی و تحلیل نمونه سوالات کنکور، تلاش می کنیم تا این مبحث را به شکلی عمیق و قابل درک برای شما تشریح کنیم.
مهندس امیر محمودزاده با آموزش پیشرفته دروس ریاضی به خصوص در درس شمارش توانسته تا حد زیادی نیاز دانش آموزان به یک آموزش صحیح را برطرف نماید.
مبانی شمارش در ریاضی دوازدهم انسانی: از پایه تا پیشرفته
درس شمارش در ریاضی دوازدهم انسانی با مفاهیم پایه ای مانند اصل جمع و اصل ضرب آغاز می شود.
اصل جمع بیان می کند که اگر دو کار را بتوان به ترتیب به m و n روش انجام داد، آنگاه یکی از این دو کار را می توان به m +n روش انجام داد. این اصل در موقعیت هایی کاربرد دارد که انتخاب بین دو گزینه مستقل وجود دارد.
از سوی دیگر، اصل ضرب برای موقعیت هایی استفاده می شود که دو کار به صورت متوالی انجام می شوند. بر اساس این اصل، اگر دو کار را بتوان به ترتیب به m و n روش انجام داد، آنگاه هر دو کار را می توان به m × n روش انجام داد. این اصل در حل مسائل پیچیده تر، مانند شمارش تعداد روش های چیدمان یا انتخاب، بسیار کارآمد است.
با تسلط بر این اصول پایه ای، دانش آموزان می توانند به سراغ مفاهیم پیشرفته تری مانند جایگشت و ترکیب بروند. جایگشت به تعداد روش های چیدمان اشیا در یک ترتیب خاص اشاره دارد، در حالی که ترکیب به انتخاب اشیا بدون توجه به ترتیب آن ها می پردازد. درک تفاوت بین این دو مفهوم و کاربرد صحیح آن ها در حل مسائل، یکی از کلید های موفقیت در این درس است.
شما با یافتن بهترین روش های تمرین ریاضی برای یادگیری موثر می توانید در زمینه آمار و احتمال و شمارش ریاضی دوازدهم انسانی نیز موفق باشید.
راهکار های ساده برای تسلط بر مبحث شمارش ریاضی دوازدهم
تسلط بر مبحث شمارش نیازمند تمرین مداوم و درک عمیق مفاهیم است. یکی از بهترین راهکار ها برای یادگیری این مبحث، شروع از مسائل ساده و افزایش تدریجی سطح دشواری آن ها است.
استفاده از مثال های کاربردی نیز می تواند به درک بهتر مفاهیم کمک کند. به عنوان مثال، می توان از مسائل واقعی مانند شمارش تعداد روش های انتخاب اعضای یک گروه یا چیدمان کتاب ها در قفسه استفاده کرد.
علاوه بر این، مرور منظم مفاهیم و حل نمونه سوالات متنوع، به تثبیت یادگیری کمک می کند. دانش آموزان می توانند از منابعی مانند کتاب های درسی، جزوات معتبر و نمونه سوالات کنکور سال های گذشته استفاده کنند تا با انواع سوالات آشنا شوند و توانایی حل آن ها را به دست آورند.
تمرینات کاربردی و نمونه سوالات شمارش ریاضی دوازدهم
تمرینات کاربردی و نمونه سوالات، بخشی جدایی ناپذیر از یادگیری مبحث شمارش هستند. با حل این تمرینات، دانش آموزان می توانند مفاهیم را به طور عمیق تری درک کنند و توانایی حل مسائل مختلف را به دست آورند.
به عنوان مثال، حل مسائل مربوط به جایگشت و ترکیب، به دانش آموزان کمک می کند تا تفاوت بین این دو مفهوم را به خوبی درک کنند. همچنین، حل نمونه سوالات کنکور سال های گذشته، به آن ها کمک می کند تا با سبک سوالات آشنا شوند و استراتژی های مناسب برای پاسخ دهی به آن ها را بیاموزند.
سوال 1:
از بین ۸ دانش‌آموز (۴ دختر و ۴ پسر)، می خواهیم یک گروه ۴ نفره انتخاب کنیم که حداقل ۲ دختر داشته باشد. به چند روش می توان این کار را انجام داد؟
- 53
- 65
- 70
- 84
حل:
این سوال نیازمند شمارش با شرط است. برای حل آن، حالت های ممکن را بررسی می کنیم:
- دقیقا 2 دختر و 2 پسر:
2. دقیقا 3 دختر و 1 پسر:
C(4,3) \times C(4,1)=4 \times 4=163. دقیقا 4 دختر و 0 پسر:
C(4,4) \times C(4,0)=1 \times 1=1با جمع این حالت ها، تعداد کل روش ها به دست می آید:
36+16+1=53سوال 2:
به چند روش می توان حروف کلمه “MATHS” را به گونه‌ای چید که حروف M و A کنار هم نباشند؟
- 48
- 72
- 96
- 120
حل:
ابتدا تعداد کل جایگشت های حروف MATHS را محاسبه می کنیم:
5!=120سپس، تعداد جایگشت هایی که M و A کنار هم هستند را محاسبه می کنیم. M و A را به عنوان یک حرف در نظر می گیریم، بنابراین 4 حرف داریم:
4!\times 2=24 \times 2=48( ضرب در 2 به این دلیل است که M و A می توانند به دو صورت MA و AM کنار هم باشند.)
در نهایت، تعداد جایگشت هایی که M و A کنار هم نیستند، برابر است با:
120-48=72
سوال 3:
در یک کلاس ۳۰ نفره، ۱۸ دانش آموز به فوتبال علاقه مندند، ۱۵ دانش آموز به بسکتبال علاقه مندند و ۱۰ دانش آموز به هر دو علاقه مندند. چند دانش آموز به هیچ یک از این دو ورزش علاقه مند نیستند؟
- 5
- 7
- 10
- 12
حل:
برای حل این سوال، از اصل شمول و عدم شمول استفاده می کنیم. تعداد دانش آموزانی که به حداقل یکی از دو ورزش علاقه مندند، برابر است با:
18+15-10=23بنابراین، تعداد دانش آموزانی که به هیچ یک از این دو ورزش علاقه مند نیستند، برابر است با:
30-23=7سوال 4:
در یک گروه ۱۰ نفره (۶ مرد و ۴ زن)، اگر به صورت تصادفی ۳ نفر انتخاب شوند، احتمال اینکه حداقل یک زن در گروه باشد چقدر است؟
1. \frac{1}{6}
2. \frac{5}{6}
3. \frac{2}{3}
4. \frac{3}{4}
حل:
برای محاسبه این احتمال، از روش مکمل استفاده می کنیم. ابتدا احتمال اینکه هیچ زنی در گروه نباشد (یعنی همه مرد باشند) را محاسبه می کنیم:
P(همه مرد)=\frac{C(6,3)}{C(10,3)}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}سپس، احتمال مکمل (حداقل یک زن) را محاسبه می کنیم:
P\left(\text { (حداقل يكـ زن) } P \text { (همه مرد) }=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\right.آموزش جامع آمار و احتمال در ریاضی که اهمیت ویژه ای برای کسب درصد قابل قبولی در کنکور دارد از مباحث ویژه ریاضی کنکور به شمار می رود.
سوال 5:
به چند روش می توان ۵ نفر را دور یک میز گرد چید؟
- 24
- 60
- 120
- 720
حل:
در جایگشت دایره ای، تعداد روش های چیدمان n نفر دور یک میز گرد برابر است با:
(n-1)!=(5-1)!=4!=24نکات طلایی برای حل مسائل شمارش در کنکور انسانی
حل مسائل شمارش در کنکور انسانی نیازمند تسلط بر مفاهیم و همچنین آشنایی با تکنیک های حل مسئله است. یکی از مهم ترین نکات، تشخیص نوع مسئله و انتخاب روش مناسب برای حل آن است. به عنوان مثال، در مواجهه با مسائل جایگشت، باید به ترتیب چیدمان اشیا توجه کرد، در حالی که در مسائل ترکیب، ترتیب اهمیت ندارد.
نکته دیگری که می تواند به دانش آموزان کمک کند، تقسیم بندی مسائل به بخش های کوچک تر است. با این کار، حل مسئله ساده تر می شود و احتمال خطا کاهش می یابد. همچنین، استفاده از فرمول های مناسب و جایگذاری صحیح مقادیر در آن ها، از اشتباهات رایج جلوگیری می‌کند.
تمرین مداوم و حل نمونه سوالات کنکور سال های گذشته نیز می تواند به دانش آموزان کمک کند تا با سبک سوالات آشنا شوند و سرعت عمل خود را افزایش دهند. این کار نه تنها اعتماد به نفس آن ها را تقویت می کند، بلکه توانایی مدیریت زمان در جلسه کنکور را نیز بهبود می بخشد.
علاوه بر اهمیت این مبحث در کنکور انسانی، می توان به اهمیت آن در کنکور ریاضی نیز اشاره کرد. یکی از عوامل موفقیت در کنکور سراسری اطلاع از تعداد سوالات آمار و احتمال در کنکور ریاضی است که در جهت برنامه ریزی بهتر باید از آن بهره برد.
از اصول تا تکنیک‌های پیشرفته در مبحث شمارش
پس از تسلط بر اصول پایه ای شمارش، دانش آموزان می توانند به سراغ تکنیک های پیشرفته تر بروند. یکی از این تکنیک ها، استفاده از اصل شمول و عدم شمول است که در مسائل شمارش با شرایط خاص کاربرد دارد. این اصل به دانش آموزان کمک می کند تا حالت های تکراری یا همپوشانی ها را از شمارش حذف کنند.
تکنیک دیگر، استفاده از توابع مولد است که در مسائل پیچیده تر شمارش کاربرد دارد. این توابع، ابزار قدرتمندی برای مدل سازی مسائل شمارش و یافتن راه حل های مناسب هستند.
همچنین، یادگیری روش های شمارش غیر مستقیم، مانند شمارش مکمل، می تواند به دانش آموزان کمک کند تا مسائل را از زوایای مختلف بررسی کنند و راه حل های خلاقانه تری پیدا کنند.
بسیاری از داوطلبین کنکور که متوجه ارزش درس ریاضی در کنکور هستند به این سوال فکر می کنند که چگونه ریاضی کنکور را 100 بزنیم؟ قطعا با بهره گیری از منابع آموزشی و استفاده از معلیمن برتر سطح کشور می توان به درصد بالایی درس ریاضی در کنکور دست یافت.
چالش های رایج در یادگیری شمارش و راه حل های آن
یادگیری مبحث شمارش می تواند با چالش هایی همراه باشد. یکی از رایج ترین این چالش ها، تشخیص نادرست نوع مسئله و انتخاب روش حل نامناسب است. برای غلبه بر این مشکل، دانش آموزان باید با انواع مسائل شمارش آشنا شوند و روش های حل هر یک را به خوبی یاد بگیرند.
چالش دیگر، سردرگمی در استفاده از فرمول ها و جایگذاری مقادیر است. برای رفع این مشکل، تمرین مداوم و حل مسائل متنوع می تواند بسیار مفید باشد. همچنین، استفاده از مثال های ساده و افزایش تدریجی سطح دشواری مسائل، به دانش آموزان کمک می کند تا اعتماد به نفس خود را افزایش دهند.
بسیاری از داوطلبان رشته انسانی به دلیل نداشتن دروس محاسباتی و ضعف در ریاضی تصمیم به حذف این درس رتبه ساز در کنکور می گیرند، اگر در کنکور ریاضی نزنیم چه می شود؟ شما با اطلاع از بودجه بندی سوالات کنکور و اختصاص دادن زمان کافی می توانید درس ریاضی را تقویت کرده و به نتیجه قابل قبولی در کنکور دست پیدا کنید.
شمارش در ریاضی انسانی: مفاهیم، فرمول ها و مثال ها
اصل جمع
- اگر دو کار را بتوان به ترتیب به m و n روش انجام داد، آنگاه یکی از این دو کار را می توان به m + n روش انجام داد.
- مثال: اگر ۳ راه برای رفتن از شهر A به شهر B و ۴ راه برای رفتن از شهر A به شهر C وجود داشته باشد، تعداد کل راه های رفتن از شهر A به شهر B یا C برابر است با: 3+4=7
اصل ضرب
- اگر دو کار را بتوان به ترتیب به m و n روش انجام داد، آنگاه هر دو کار را می توان به m × n روش انجام داد
- مثال: اگر ۲ پیراهن و ۳ شلوار داشته باشید، تعداد ترکیب های مختلف پوشیدن لباس برابر است با . 2 \times 3 = 6
جایگشت
- جایگشت به تعداد روش های چیدمان k شی از بین n شی مختلف با توجه به ترتیب اشاره دارد.
- فرمول جایگشت:
- مثال: تعداد روش های چیدمان 3 کتاب از بین 5 کتاب مختلف برابر است با:
جایگشت دایره ای
- در جایگشت دایره ای، ترتیب چیدمان اشیا دور یک دایره مهم است و چرخش ها به عنوان یک حالت در نظر گرفته می شوند.
- فرمول جایگشت دایره ای:
- تعداد روش های چیدمان 4 نفر دور یک میز گرد برابر است با:
ترکیب
- ترکیب به تعداد روش های انتخاب k شی از بین n شی مختلف بدون توجه به ترتیب اشاره دارد.
- فرمول ترکیب:
- مثال: تعداد روش های انتخاب 2 دانش آموز از بین 5 دانش آموز برابر است با:
اصل شمول و عدم شمول
- این اصل برای محاسبه تعداد اعضای اجتماع دو یا چند مجموعه استفاده می شود.
- فرمول برای دو مجموعه:
- مثال: اگر 20 نفر به فوتبال علاقه مند باشند، 15 نفر به بسکتبال علاقه مند باشند و 10 نفر به هردو علاقه مند باشند، تعداد کل افراد علاقه مند به حداقل یکی از این دو ورزش برابر است با:
شمارش با شرط
- در برخی مسائل، شرایط خاصی برای انتخاب یا چیدمان اشیا وجود دارد. در این موارد، باید حالت های مختلف را بررسی کرد.
- مثال: از بین 5 دختر و 4 پسر، می خواهیم یک گروه 3 نفره انتخاب کنیم که حداقل 1 دختر داشته باشد. تعداد روش ها به صورت زیر محاسبه می شود:
احتمال
- احتمال وقوع یک رویداد، نسبت تعداد حالت های مطلوب به تعداد کل حالت های ممکن است.
- فرمول احتمال:
- مثال: اگر در یک کلاس 10 نفره (6 دختر و 4 پسر)، به صورت تصادفی 2 نفر انتخاب شوند، احتمال اینکه هر دو دختر باشند برابر است با:
توابع مولد
- توابع مولد ابزاری قدرتمند برای مدل سازی مسائل شمارش و یافتن راه حل های سیستماتیک هستند.
- مثال: برای شمارش تعداد روش های توزیع 5 سیب بین 3 کودک، می توان از تابع مولد استفاده کرد.
شمارش مکمل
- در این روش، به جای شمارش مستقیم حالت های مطلوب، حالت های نامطلوب را شمارش کرده و از کل حالت ها کم می کنیم.
- مثال: اگر بخواهیم تعداد روش های چیدمان 4 کتاب را محاسبه کنیم که دو کتاب خاص کنار هم نباشند، ابتدا تعداد کل جایگشت ها را محاسبه کرده و سپس تعداد جایگشت هایی که آن دو کتاب کنار هم هستند را از آن کم می کنیم.
