درسنامه آمار و احتمال یازدهم
درسنامه آمار و احتمال یازدهم یکی از مباحثی است که یادگیری آن باعث فهم بسیاری از اتفاقات دنیای ریاضی در زندگی می شود. در زندگی روزانه هر شخص، بسیاری از موضوعات بر اساس پیش بینی، تحلیل اطلاعات و منطق پیش می رود و آمار و احتمال مبحثی است که به بررسی این ریز جزئیات می پردازد.
در پایه یازدهم، دانش آموزان در این فصل ابتدا با مفاهیمی پایه از احتمال مانند استدلال و ساختار های مجموعه ای آشنا می شوند.
یادگیری این مفاهیم در ابتدا به هر شخص توانایی تشخیص درستی و نادرستی عبارت ها و اتفاقات، تحلیل روابط بین موضوعات و برقراری ارتباط منطقی بین مفاهیم را می دهد.
در پایه یازدهم، دانش آموزان در این فصل ابتدا با مفاهیمی پایه از احتمال مانند استدلال و ساختار های مجموعه ای آشنا می شوند؛ این مفاهیم از جمله مباحثی هستند که در دوره سالیانه ریاضی یازدهم تجربی و ریاضی به صورت جامع و مرحله به مرحله آموزش داده شده اند.
آشنایی ذهنی با مفاهیم در ابتدا باعث آمادگی ذهنی دانش آموزان برای رویارویی با مباحث پیچیده تر را می دهد.
در ادامه مبحث، مطالبی بیان می شود که در آن ها عدم قطعیت نیز وجود دارد. آشنایی افراد با علم آمار و احتمال ذهن دانش آموزان را به سمت اتفاقات تصادفی سوق می دهد.
در ادامه مبحث، مطالبی بیان می شود که در آن ها عدم قطعیت نیز وجود دارد و تحلیل داده ها به میان می آید؛ کاربرد مفاهیم تحلیلی را می توان حتی در مسائلی مانند حل سوال هندسه مختصاتی (فاصله نقطه از خط) نیز مشاهده کرد، جایی که دقت در روابط عددی و فضایی اهمیت بالایی دارد
آگاهی و آشنایی با این علم، باعث درک عمیق تر افراد به اتفاقات زندگی می شود.
پس ازعبور از علم احتمال و پیشامد های تصادفی، نوبت به بررسی داده های واقعی می رسد. با این علوم دانش آموز آموزش می بیند که چگونه داده ها را جمع آوری کند و آن ها را با نمودار به تصویر بکشد. در ادامه می تواند از این اطلاعات، شاخص های عددی مانند میانگین، میانه و انحراف معیار به دست آورد.
یادگیری این مهارت، به او این امکان را می دهد تا به شیوه منطقی و تحلیل داده و اعداد دید روشن تری نسبت به اتفاقات داشته باشد.
در نهایت دانش آموز یاد می گیرد که چطور از روی داده های به دست آمده درباره کل قضاوت کند و اطلاعات آماری به دست آورد، قطعا متوجه هستید که این علم پایه بسیاری از تحقیقات در زمینه زندگی اجتماعی است.
این درس ارتباط به دنیای انتزاع و واقعیت در ریاضی را برقرار می کند.
درسنامه منطق ریاضی و نظریه مجموعه در آمار و احتمال یازدهم
✳️ بخش اول: منطق ریاضی
منطق ریاضی یعنی اینکه با استفاده از قوانین مشخص، توانایی فکر کردن به صورت دقیق داشته باشیم. در ادامه با گزاره ها، ترکیب گزاره ها آشنا می شویم.
گزاره چیست؟
گزاره، جمله ای خبری است که می تواند صحیح یا غلط باشد. به عنوان مثال:
- «2 عددی زوج است.» → درست ✅
- «5 عددی زوج است.» → نادرست ❌
- « ساعت چند است؟» → اصلا گزاره نیست! چون خبری نیست.
گزاره نما چیست؟
اگر مفهوم جمله ای مشخص نباشد، یعنی نتوانیم درستی یا نادرستی آن را تشخیص بدهیم، به آن گزاره نما می گوییم.
مثال:
«X عددی زوج است.» → این عبارت یک گزاره نما است، زیرا تا زمانی که x را تشخیص ندهیم نمیتوانیم متوجه صحیح یا غلط بودن آن شویم.
🔹 ترکیب گزاره ها (عملگرهای منطقی)
| نام ترکیب | نماد | توضیح | مثال |
| نقیض | ¬P | عکس ارزش گزاره را می‌دهد | اگر P درست باشد، ¬P نادرست است. |
| عطف (و) | P ∧ Q | وقتی هر دو درست باشند → درست است | علی درس خواند و امتحان را داد. |
| فصل (یا) | P ∨ Q | وقتی حداقل یکی درست باشد → درست است | امروز باران می‌بارد یا هوا ابری است. |
| شرطی | P → Q | فقط وقتی P درست و Q نادرست باشد → نادرست است | اگر درس بخوانم، قبول می‌شوم. |
| دوطرفه | P ↔ Q | وقتی هر دو همزمان درست یا نادرست باشند → درست است | اگر و تنها اگر n عدد زوج باشد، بر ۲ بخش‌پذیر است. |
مثال:
- P: “عدد ۴ زوج است” (✅ درست)
- Q: “عدد ۴ فرد است” (❌ نادرست)
بیایید ترکیب‌ها را بررسی کنیم:
- ¬P نادرست
- P ∧ Q = نادرست
- P ∨ Q = درست
- P → Q = نادرست (چون P درست و Q نادرست است)
🔹 قوانین مهم در منطق
| قانون | توضیح |
| دمورگان | ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q و ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q |
| معادل شرطی | P → Q معادل ¬P ∨ Q است |
| هم‌ارزی | P ↔ Q یعنی همزمان درست یا نادرست باشند |
سوال: اگر P: «عدد ۲ زوج است» و Q: «عدد ۳ فرد است»، ارزش ترکیب P ∧ Q چیست؟ پاسخ: هر دو گزاره درست هستند، پس ترکیب هم درست است. ✅
✳️ بخش دوم: نظریه مجموعه ها
مجموعه شامل دسته بندی از مواردی هستند که ویژگی های مشترکی دارند.
نمایش مجموعه:
\bullet \quad \text{مثال: } A = {1, 3, 5}این مجموعه شامل سه عدد فرد است.
زیرمجموعه
اگر تمام اعضای A در B باشند، می‌گوییم A زیرمجموعه B است.
\text{مثلاً } A = {1, 2} , \quad B = {1, 2, 3} \quad \Rightarrow \quad A \subseteq Bتعداد زیرمجموعه ها
اگر مجموعه‌ای n عضو داشته باشد، تعداد زیرمجموعه هایش برابر است با:
2^n \text{مثلاً برای مجموعه } {a, b, c} \quad \text{تعداد زیرمجموعه‌ها } = 2^3 = 8🔹 عملیات روی مجموعه ها
| عمل | نماد | توضیح | مثال |
| اجتماع | A ∪ B | همه اعضای A و B | A={1,2}, B={2,3} → A∪B={1,2,3} |
| اشتراک | A ∩ B | فقط اعضای مشترک | A∩B={2} |
| تفاضل | A \ B | اعضای A که در B نیستند | A\B={1} |
| مکمل | Aᶜ | اعضای جهان که در A نیستند | بستگی به U دارد |
🔹 قوانین دمورگان برای مجموعه ها
\bullet \quad (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \bullet \quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c🔹 ضرب دکارتی (محصول کارتزین)
ضرب دکارتی یعنی ساختن همه زوج های ممکن از دو مجموعه.
\text{اگر } A = {1, 2} \text{ و } B = {x, y} \text{ آنگاه:} A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)} \text{اگر } A \text{ دو عضو و } B \text{ سه عضو داشته باشند، ضرب دکارتی } 2 \times 3 = 6 \text{ عضو دارد.}📌 مثال:
\text{اگر } A = {a, b} \text{ و } B = {1, 2, 3} \text{، چند عضو در } A \times B \text{ وجود دارد؟} \text{پاسخ: } 2 \times 3 = 6 \text{ زوج مرتب } \quad \Rightarrow \quad \text{\checkmark}🔠 بررسی دقیق نماد ها:
| مفهوم | نماد استفاده‌شده | صحیح است؟ | توضیح |
| نقیض | ¬P | ✅ | نماد استاندارد نقیض در منطق |
| عطف (و) | P ∧ Q | ✅ | نماد استاندارد conjunction |
| فصل (یا) | P ∨ Q | ✅ | نماد استاندارد disjunction |
| شرطی | P → Q | ✅ | نماد استاندارد برای شرط منطقی |
| دوطرفه | P ↔ Q | ✅ | نماد ” اگر و تنها اگر “ |
| زیرمجموعه | A ⊆ B | ✅ | برابر با “زیرمجموعه یا مساوی” |
| اجتماع | A ∪ B | ✅ | نماد اجتماع (union) |
| اشتراک | A ∩ B | ✅ | نماد اشتراک (intersection) |
| مکمل | Aᶜ یا ‘A | ✅ هر دو | در کتاب درسی معمولاً از A’ استفاده می‌شود |
| ضرب دکارتی | A × B | ✅ | ضرب دکارتی با علامت × نمایش داده می‌شود |
| تعداد زیر مجموعه ها | 2^n | ✅ | نماد توان برای شمارش |
درسنامه احتمال پایه یازدهم: مفاهیم پیشامد شرطی و مستقل
پیشامد شرطی (احتمال شرطی)
گاهی می‌دانیم یک پیشامد (مثلا B) حتما رخ داده، و حالا می خواهیم بدانیم احتمال رخ دادن پیشامد دیگری (مثلا A) در همین شرایط چقدر است. این مفهوم را «احتمال شرطی» می نامند.
📌 تعریف ریاضی:
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{به شرط اینکه } P(B) \ne 0این یعنی احتمال رخ دادن A با دانستن اینکه B رخ داده، برابر است با نسبت احتمال رخ دادن همزمان A و B به احتمال B.
✍️ مثال آموزشی:
مرحله به مرحله:
- بعد از بیرون آمدن یک سفید، در کیسه ۳ قرمز و ۱ سفید باقی می‌ماند.
- کل حالت‌های ممکن برای مهره دوم : ۴
- حالت‌های مطلوب (قرمز بودن مهره دوم) : ۳
🔁 قانون ضرب احتمال
فرمول مهمی که از احتمال شرطی به دست میاد:
P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)گاهی هم به شکل:
P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A)
✅ پیشامد های مستقل
دو پیشامد وقتی مستقل هستند که رخ دادن یکی، روی احتمال رخ دادن دیگری هیچ تاثیری نداشته باشه.
📌 تعریف ریاضی:
P(A \mid B) = P(A) \quad (\text{به شرطی که } P(B) \ne 0)یا به زبان ساده‌تر:
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)یک سکه دوبار پرتاب می‌کنیم. پیشامد A: شیر آمدن در پرتاب اول. پیشامد B: شیر آمدن در پرتاب دوم.
P(A) = 0.5
P(B) = 0.5
چون پرتاب ها مستقل اند:
P(A \cap B) = 0.5 \times 0.5 = 0.25🎯 مثال:
پیشامدهای A و B مستقل‌اند.
P(A) = 0.4، P(B) = 0.3. مقدار P(A ∪ B) را بیابید.
می دانیم:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)چون مستقل اند:
P(A \cap B) = 0.4 \times 0.3 = 0.12حالا:
P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0.12 = 0.58در نهایت تمامی موارد گفته شده می توان به صورت زیر جمع بندی کرد:
| توضیح ساده | فرمول | موضوع |
|---|---|---|
| رخ داده B وقتی می‌دونیم | P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} | احتمال شرطی |
| احتمال همزمان دو پیشامد | P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) | ضرب احتمال |
| تأثیر نداره A روی B یعنی | P(A \mid B) = P(A) | پیشامد مستقل |
| فقط وقتی مستقل باشن | P(A \cap B) = P(A) \times P(B) | همزمان در مستقل‌ها |
آمار توصیفی یازدهم: آموزش نمودار ها و معیار های گرایش به مرکز
🟨 بخش اول: آموزش نمودار های آماری
- نمودار ستونی (میله ای)
یکی از ساده ترین نمودارها است. برای نمایش «فراوانی» دسته های مختلف به‌کار می رود.
مثال ساده:
تعداد دانش آموزان هر رشته در یک مدرسه:
| رشته | تعداد |
| ریاضی | ۱۲ |
| تجربی | ۱۵ |
| انسانی | ۸ |
روی محور افقی رشته ها و روی محور عمودی تعداد رو می گذاریم. هر رشته یک ستون می گیرد. ارتفاع ستون یعنی تعداد.
- نمودار دایره ای
برای نمایش درصد هر دسته استفاده می‌شود. دایره ۳۶۰ درجه است. زاویه هر بخش با فرمول زیر به دست می آید:
\text{زاویه‌ی هر بخش} = \left( \frac{\text{فراوانی}}{\text{کل}} \right) \times 360مثال ساده:
۴۰ نفر در کلاس: ۲۰ نفر فوتبال، ۱۰ نفر بسکتبال، ۱۰ نفر والیبال
زاویه ها:
-
\text{فوتبال:} \quad \frac{20}{40} \times 360^\circ = 180^\circ
\text{بسکتبال و والیبال هر کدام } 90^\circ
نمودار چند بر فراوانی (خط شکسته)
برای داده های گروه بندی شده به کار می رود. ابتدا هیستوگرام رسم می کنیم، سپس نقاط وسط بالای میله ها را با خط به هم وصل می کنیم.
مثال: قد دانش آموزان در پنج بازه:
| بازه (cm) | فراوانی |
| 150–154 | 2 |
| 155–159 | 5 |
| 160–164 | 7 |
| 165–169 | 4 |
| 170–174 | 2 |
ابتدا میله ها را رسم کن، سپس وسط هر بازه (مثلا 157) را پیدا کن و بالای هر ستون نقطه بذار، بعد نقطه ها را به هم وصل کن.
🟨 بخش دوم: معیار های گرایش به مرکز
- میانگین (متوسط)
فرمولش خیلی ساده است:
\text{میانگین} = \frac{\text{جمع داده‌ها}}{\text{تعداد داده‌ها}} \text{مثال ساده:} \quad \text{اعداد: } 12، 15، 16، 18، 20 \text{میانگین} = \frac{12 + 15 + 16 + 18 + 20}{5} = \frac{81}{5} = 16.2- میانه (عدد وسط)
- اعداد را مرتب کن
- اگر تعداد فرد بود → عدد وسط
- اگر زوج بود → میانگین دو عدد وسط
- نما (مد)
عددی که بیشترین تکرار را دارد.
مثال ساده:
داده ها: ۱۱، ۱۳، ۱۳، ۱۴، ۱۵، ۱۵، ۱۵ → نما = ۱۵
🎯 مثال ترکیبی:
\text{میانگین ۵ عدد } = 12 \quad \Rightarrow \quad \text{مجموع} = 5 \times 12 = 60 \text{اگر یکی از عددها 20 باشد، مجموع 4 عدد دیگر } = 60 - 20 = 40 \text{میانگین آن ۴ عدد } = \frac{40}{4} = 10🟨 بخش سوم: معیار های پراکندگی
- دامنه
خیلی ساده‌ست:
\text{دامنه} = \text{بیشترین عدد} - \text{کمترین عدد} \text{مثال: داده‌ها: } 2، 3، 5.5، 7، 9 \quad \Rightarrow \quad \text{دامنه} = 9 - 2 = 7- انحراف معیار
یعنی داده ها چقدر از میانگین فاصله دارن. هر چی فاصله ها بیشتر، انحراف معیار بیشتر.
فرمول:
\sigma = \sqrt{ \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots}{n} } \text{مثال ساده:} \text{داده‌ها: } 4، 6، 8، 10 \quad \text{میانگین} = 7 \sigma = \sqrt{ \frac{(4 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (10 - 7)^2}{4} } = \sqrt{ \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} } = \sqrt{5} \approx 2.24🎯 نکته کنکوری:
اگر به همه داده ها عدد ثابتی اضافه کنیم، انحراف معیار تغییر نمی‌کند.
اما اگر همه داده ها را در یک عدد ثابت ضرب کنیم، انحراف معیار در همان عدد ضرب می‌شود.
📌 جمع بندی مهم:
| مفهوم | فرمول یا نکته اصلی | توضیح |
| میانگین | مجموع ÷ تعداد | نشان‌دهنده‌ی حالت کلی داده |
| میانه | عدد وسط | مقاوم در برابر داده‌های پرت |
| نما | بیشترین تکرار | ممکن است چندتا باشد یا هیچ‌کدام |
| دامنه | max – min | ساده‌ترین معیار پراکندگی |
| انحراف معیار | √میانگین توان دوم فاصله‌ها تا میانگین | دقیق‌ترین معیار پراکندگی |
درسنامه آمار استنباطی یازدهم: جمع آوری داده و روش های برآورد
📍 مفهوم جامعه و نمونه
در علم آمار، زمانی که درباره یک موضوع تحقیق می کنیم، نمیتوانیم تمامی افراد یک مجموعه را بررسی کنیم.
- جامعه آماری: به مجموعه ای گفته می شود که هدف ما برای کسب اطلاعات است. (مثلا همه دانش آموزان یک شهر).
- نمونه آماری: بخشی کوچک از یک جامعه مورد نظر که باید در مورد آن تحقیق کنیم.
🧪 روش های جمع آوری داده (نمونه گیری)
- نمونه گیری تصادفی ساده:
همه اعضای یک جامعه هدف، شانس برابر برای انتخاب شدن دارند.
مثل قرعه کشی بین تمام دانش آموزان
مثال آموزشی:
از بین ۱۰۰ دانش آموز، می خواهیم ۱۰ نفر را به صورت تصادفی انتخاب کنیم. هر دانش آموز شانس ۱ به ۱۰ دارد.
- نمونه گیری طبقه ای
یک جامعه را به گروه های مختلف دسته بندی می کنیم، سپس از هر دسته بندی، تعدادی را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم. (مثلا پسر و دختر، یا رشته های تحصیلی)
مثال آموزشی:
در یک مدرسه، ۶۰٪ تجربی و ۴۰٪ ریاضی هستند. می خواهیم ۵۰ نفر را نمونه بگیریم. پس:
۳۰ نفر از تجربی
۲۰ نفر از ریاضی
- نمونه گیری خوشه ای:
جامعه به خوشه هایی طبیعی تقسیم می شود (مثلا کلاس ها یا مناطق شهری). سپس چند خوشه را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم و همه اعضای آن خوشه ها را بررسی می کنیم.
مثال آموزشی:
شهر ۱۰ محله دارد. ۳ محله را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم و از همه خانوارهای این ۳ محله اطلاعات می گیریم.
🎯 برآورد پارامتر های جامعه
از نمونه برای «برآورد» ویژگی های جامعه استفاده می کنیم:
✅ میانگین نمونه
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}مثال ساده:
قد ۵ نفر: ۱۶۰، ۱۶۵، ۱۶۲، ۱۶۸، ۱۶۰
\bar{x} = \frac{160 + 165 + 162 + 168 + 160}{5} = \frac{815}{5} = 163✅ نسبت نمونه (برآورد نسبت جامعه)
\hat{p} = \frac{\text{تعداد افراد موفق}}{\text{کل افراد نمونه}}مثال ساده:
در یک نظرسنجی از ۲۰۰ نفر، ۱۲۰ نفر پاسخ « بله » دادند.
\hat{p} = \frac{120}{200} = 0.6 = 60%یعنی ما برآورد می کنیم حدود ۶۰٪ کل جامعه هم « بله » می گویند.
🔍 مثال ترکیبی:
سوال (رشته ریاضی):
در مدرسه ای با ۱۰۰۰ دانش آموز، می خواهیم میانگین قد را تخمین بزنیم. ۴۰ نفر را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم و میانگین قد آن‌ها ۱۶۵ سانتی متر شد. میانگین قد کل دانش آموزان را چه عددی برآورد می کنیم؟
✅ چون نمونه گیری درست بوده، برآورد میانگین جامعه: ۱۶۵ سانتی متر
سوال (رشته تجربی):
در بین ۵۰ نفر نمونه گیری شده، ۱۵ نفر گروه خونی O دارند. نسبت افراد دارای گروه خونی O را در کل جامعه برآورد کنید.
\hat{p} = \frac{15}{50} = 0.3 = 30%در نهایت:
| مفهوم | تعریف ساده |
| جامعه آماری | مجموعه‌ی کامل افراد یا اشیایی که می‌خواهیم بررسی کنیم |
| نمونه آماری | بخشی از جامعه که بررسی می‌کنیم |
| میانگین نمونه | معدل داده‌های نمونه |
| نسبت نمونه | درصد اعضایی که ویژگی خاصی دارند |
| تصادفی ساده | همه شانس برابر دارند |
| طبقه‌ای | گروه‌بندی و نمونه از هر گروه |
| خوشه‌ای | انتخاب چند گروه کامل |
