حل تمرینات ریاضی دوازدهم تجربی
حل تمرینات ریاضی دوازدهم تجربی یکی از مهم ترین ابزار ها برای تقویت مهارت ها و درک بهتر مفاهیم این درس است. درس ریاضی دوازدهم تجربی شامل مباحث متنوعی از جمله تابع، مثلثات، حد، مشتق، کاربرد مشتق، هندسه و احتمال می باشد که هر کدام از این فصل ها، مفاهیم اساسی و کاربردی را در بر دارند. بسیاری از دانش آموزان برای یادگیری عمیق تر و موفقیت در امتحانات نهایی و کنکور، به دنبال راهنمایی های دقیق و تشریحی برای حل تمرینات این کتاب هستند.
حل سوالات به صورت فصل به فصل، حل تشریحی تمرین ها و فعالیت های کتاب ریاضی دوازدهم تجربی برای شما ارائه شده است. هر بخش شامل توضیحات ساده و روان، همراه با مثال های عملی و کاربردی است که به درک بهتر دانش آموزان کمک می کند.
از مباحث ابتدایی مانند تعریف و انواع توابع تا موضوعات پیچیده تری مانند کاربرد های مشتق و محاسبات احتمالی، همه به طور کامل پوشش داده شده اند. این محتوا برای دانش آموزانی که قصد دارند با اطمینان بیشتر در آزمون ها شرکت کنند یا نمرات بالایی کسب کنند، منبعی مفید و جامع خواهد بود.
در نهایت، اگر به دنبال یادگیری برای امتحانات نهایی هستید، توصیه میشود بیاموزید چگونه ریاضی را برای امتحان نهایی بخوانیم. بهرهگیری از راهنماییهای متخصصانی مانند مهندس امیر محمودزاده میتواند روند یادگیری شما را تسریع کند و موفقیت شما را تضمین نماید.
نمونه ای از حل تمرینات کتاب ریاضی دوازدهم تجربی
نکات و مطالب ارائه شده در کتاب ریاضی دوازدهم از اهمیت ویژه ای برخوردار است و تسلط داوطلبان کنکوری و دانش آموزان این پایه بر این مباحث از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
حل تمرینات ریاضی دوازدهم تجربی یکی از مهمترین ابزارها برای یادگیری مفاهیم کلیدی مانند تابع، مثلثات، حد و مشتق است. برای موفقیت در این درس، باید بدانید چگونه ریاضی را برای کنکور بخوانیم و از روشهای صحیح مطالعه استفاده کنید.
حل تمرینات تابع
تابع نوعی از رابطه است که یک دامنه و برد برای آن تعریف شده است.
اگر دو مجموعه A و B داشته باشیم و به هر عنصر x از مجموعه A یک مقدار ورودی بدهیم؛ تنها به یک عنصر y از مجموعه Bمرتبط می شود. در این مثال مجموعه A دامنه و مجموعه B برد این تابع را تشکیل می دهد.
در واقع تابع را می توان به عنوان یک قاعده یا فرآیند در نظر گرفت که یک ورودی می گیرد و خروجی مشخصی تولید می کند.
در تابع یک ورودی نمی تواند دو یا چند خروجی داشته باشد.
تمرین مداوم و تسلط بر موضوعات پایهای مانند دنباله های حسابی و هندسی در ریاضی دهم تجربی نیز نقش کلیدی دارد.
در فصل اول کتاب ریاضی دوازدهم تجربی با عنوان تابع، مفاهیم اساسی مانند توابع چندجمله ای، توابع صعودی و نزولی، ترکیب توابع و تابع وارون مورد بررسی قرار می گیرند.
در ادامه همراه با حل تمرین های کتاب درسی مفاهیم بیان شده در هر سوال را توضیح خواهیم داد.
سوال: نمودار تابعی داده شده است.
الف) آیا این تابع اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی؟
ب) آیا این تابع یک به یک است؟
پاسخ:
الف) با توجه به نمودار، اگر با افزایش مقدار x، مقدارy نیز افزایش یابد، تابع اکیدا صعودی است. اگر با افزایش x، مقدارy کاهش یابد، تابع اکیدا نزولی است.
ب) تابع یک به یک است اگر هر مقدار از دامنه به یک مقدار منحصر به فرد از برد نگاشت شود. یعنی هیچ دو مقدار متفاوتی از دامنه نباید به یک مقدار از برد نگاشت شوند.
تعریف تابع یک به یک
تابعی است که در آن هر خروجی فقط به یک ورودی مربوط می شود، یا به عبارت دیگر هیچ دو نقطه ای از دامنه نمی تواند به یک نقطه در برد برسد.
یعنی با توجه به نمودار بالا به ازای هر مقدار Y ما فقط یک X خواهیم داشت.
مثال: تابع f(x)=2 x+1 تابعی یک به یک است اما تابع f(x)=x^2 یک به یک نیست.
با توجه به نمودار این دو تابع بهتر متوجه خواهید شد.
تعریف تابع اکیدا صعودی
زمانی یک تابع اکیدا صعودی خواهد بود که اگر دو مقدار x_2, x_1 در دامنه تابع به صورت ، x_1<x_2 باشد آنگاه f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right) هم باشد.
به عبارت دیگر اگر مقدار ورودی x بزرگ تر شود، مقدار خروجی f(x) همیشه و به طور قطع افزایش می یابد، بدون اینکه ثابت بماند.
- تابع اکیدا صعودی همیشه یک به یک است.
- هیچ دو مقدار از دامنه تابع نمیتوانند خروجی یکسانی داشته باشند.
تعریف تابع صعودی
زمانی یک تابع صعودی خواهد بود که اگر دو مقدار x_2, x_1 در دامنه تابع به صورت x_1<x_2 باشد آنگاه f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right) هم باشد.
یا به عبارت دیگر زمانی که ورودی x افزایش می یابد مقدار خروجی f(x) افزایش می یابد و یا در بدترین حالت ثابت می ماند.
- ممکن است مقدار خروجی در برخی نقاط ثابت بماند.
- نمودار تابع هیچگاه رو به پایین حرکت نمیکند.
تفاوت تابع اکیدا صعودی با تابع صعودی:
در تابع صعودی، خروجی میتواند در برخی نقاط ثابت بماند، اما در تابع اکیداً صعودی، خروجی همیشه افزایش مییابد و هیچگاه ثابت نمیماند.
تعریف تابع اکیدا نزولی
زمانی یک تابع اکیدا نزولی خواهد بود که اگر دو مقدار x_2, x_1 در دامنه تابع به صورت ، x_1<x_2 باشد؛ آنگاه f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right) هم باشد.
به عبارت دیگر اگر مقدار ورودیx بزرگتر شود، مقدار خروجی f(x) همیشه و به طور قطع کاهش می یابد، بدون اینکه ثابت بماند.
- خروجی تابع برای ورودیهای بزرگتر همواره کمتر میشود.
- تابع اکیدا نزولی همیشه یکبهیک است.
تعریف تابع نزولی
زمانی یک تابع نزولی خواهد بود که اگر دو مقدار x_2, x_1 در دامنه تابع به صورت x_1<x_2 باشد؛ آنگاه f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right) هم باشد.
به عبارت دیگر وقتی مقدار ورودی x افزایش پیدا می کند، مقدار خروجیf(x) یا کاهش می یابد یا در بدترین حالت ثابت می ماند.
- مقدار خروجی تابع ممکن است ثابت بماند یا کاهش یابد، اما هرگز افزایش پیدا نمیکند.
- نمودار تابع یا به سمت پایین حرکت می کند یا افقی می ماند، اما هرگز به سمت بالا نمی رود.
تفاوت تابع اکیدا نزولی با تابع نزولی:
در تابع اکیدا نزولی، خروجی همیشه کاهش می یابد و هیچ گاه ثابت نمی ماند، اما در تابع نزولی، خروجی می تواند در برخی نقاط ثابت بماند.
تعریف تابع یکنوا
یک تابع f(x) یکنوا است اگر در کل دامنه خود یا همواره صعودی (یا اکیدا صعودی) باشد یا همواره نزولی (یا اکیدا نزولی).
یا به عبارت دیگر تابع یکنوا هیچ گاه جهت تغییر نمی دهد. این به این معنی است که خروجی تابع یا همیشه افزایش می یابد یا همیشه کاهش می یابد، اما ممکن است در برخی نقاط ثابت بماند.
سوال:
اگر f=\{(7,8),(5,3),(9,8),(11,4)\} و g=\{(5,7),(3,5),(7,9),(9,11)\} ، توابع g \circ f , f \circ g را به دست آورید.
پاسخ:
برای یافتن g \circ f , f \circ g، ابتدا مقدار g(x) را یافته و سپس f(g(x)) را محاسبه می کنیم.
برای یافتن g \circ f، ابتدا مقدار f(x) را یافته و سپس g(f(x)) را محاسبه می کنیم.
(f \circ g)(5)=f(g(5))=f(7)=8
(f \circ g)(3)=f(g(3))=f(5)=3
(f \circ g)(7)=f(g(7))=f(9)=8
(f \circ g)(9)=f(g(9))=f(11)=4
(g \circ f)(7)=g(f(7))=g(8)=\text { تعـريف نشـــده }
(g \circ f)(5)=g(f(5))=g(3)=5
(\operatorname{gof})(9)=g(f(9))=g(8)=\text { تعـريف نشــده }
(g \circ f)(11)=g(f(11))=g(4)=\text { تعـريف نشــده }
تعریف ترکیب توابع
ترکیب دو تابع فرآیندی است که در آن خروجی یک تابع به عنوان ورودی تابع دیگر استفاده می شود.
ترکیب دو تابع f و g به صورت نوشته می شود و به صورت (f \circ g)(x) زیر تعریف می گردد:
(f \circ g)(x)=f(g(x))
یعنی ابتدا g(x) را محاسبه کرده و سپس نتیجه را به عنوان ورودی f استفاده می کنیم.
- ترتیب اهمیت دارد:
ترکیب (g \circ f)(x) یا (f \circ g)(x) معمولا متفاوت است.
- دامنه ترکیب توابع:
دامنه f \circ g شامل تمام مقادیر x از دامنه g است که برای آن g(x) در دامنه f قرار گیرد.
- عملکرد ترکیب:
ترکیب توابع عملکردی مشابه زنجیره ای دارد؛ خروجی یکی ورودی دیگری است.
سوال:
ضابطه تابع وارون توابع یک به یک زیر را به دست آورید.
\text { (الف) } f(x)=\frac{-8x+3}{2}
\text { ب) } g(x)=-5-\sqrt{3x+1}
پاسخ:
برای یافتن تابع وارون : f(x)
1. f(x) را برابر با y قرار دهید: y=f(x)
2. معادله را نسبت به x حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.
3. x را با f^{-1}(y) جایگزین کنید.
4. در نهایت، y را با x جایگزین کنید تا ضابطه f^{-1}(x) به دست آید.
f(x)=\frac{-8x+3}{2} \xrightarrow{x \leftrightarrow y} x=\frac{-8y+3}{2} \rightarrow-8y=2x-3
y=\frac{-2x+3}{8} \rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-2x+3}{8}
\text { ب) } g(x)=-5-\sqrt{3x+1}
g(x)=-5-\sqrt{3x+1} \xrightarrow{x \leftrightarrow y} x=-5-\sqrt{3y+1} \rightarrow \sqrt{3y+1}=x+5
3y+1=(x+5)^2 \rightarrow 3y=(x+5)^2-1 \rightarrow y \frac{(x+5)^2-1}{3} \rightarrow g^{-1}(x)=\frac{(x+5)^2-1}{3}
تعریف تابع وارون
یک تابع f(x) وارون دارد اگر رابطه ای وجود داشته باشد که هر خروجی f(x) را به ورودی اصلی x بازگرداند. تابع وارونf(x) با نماد f^{-1}(x) نشان داده میشود و به صورت زیر تعریف میگردد:
f\left(f^{-1}(x)\right)=x \quad, \quad f^{-1}(f(x))=x
به عبارت دیگر تابع وارون تابعی است که خروجی ها و ورودی های تابع اصلی را جا به جا می کند.
اگر f(x) مقدار y را تولید کند، تابع وارون f^{-1}(x) مقدار x را از y بهدست می آورد.
شرط وجود تابع وارون:
برای اینکه یک تابع وارون داشته باشد:
- تابع باید یکبهیک باشد.
- تابع باید دامنه و برد مشخصی داشته باشد.
یکی از موضوعات پیچیده ریاضی یازدهم که اهمیت زیادی دارد، حل معادلات گویا ریاضی یازدهم تجربی است. درک دقیق این بخش کمک میکند تا مهارتهای حل مسئله شما تقویت شود. همچنین، تکنیکهای خلاصه نویسی ریاضی کنکور به شما این امکان را میدهد که در کمترین زمان مفاهیم مهم را مرور کنید.
حل تمرینات مثلثات
مثلثات شاخهای از ریاضیات است که به بررسی روابط میان زوایا و اضلاع مثلثها و توابع مرتبط با آنها مانند سینوس، کسینوس، و تانژانت میپردازد.
فصل دوم کتاب ریاضی دوازدهم تجربی به مبحث «مثلثات» اختصاص دارد و شامل تمرینها و فعالیتهای متعددی است که به درک بهتر این مبحث کمک میکنند.
توابع مثلثاتی و تناوب
توابع مثلثاتی مثل sin(x) ، cos(x) ، tan(x) در مثلثات دوازدهم بررسی میشوند.
توابع مثلثاتی sin(x) ،cos(x) و tan(x) رفتار تناوبی دارند، یعنی مقادیر آن ها پس از یک بازه زمانی مشخص تکرار می شود. این بازه زمانی، دوره تناوب نامیده میشود.
تابع سینوس sin(x)
- نمودار سینوس به صورت یک موج است که از 0 شروع میشود، به 1 میرسد، به 0 بازمی گردد، به 1_ میرسد، و دوباره به 0 برمی گردد.
- این الگو هر 2π تکرار میشود.
- مقادیر مهم:
تابع کسینوس cos(x)
- نمودار کسینوس نیز موجی است، اما از مقدار 1 شروع میشود، به 0، سپس به 1_، دوباره به 0، و در نهایت به 1 میرسد.
- این الگو نیز هر 2π تکرار میشود.
- مقادیر مهم:
تابع تانژانتtan(x)
- تانژانت از تقسیم sin(x) برcos(x) بهدست میآید:
- در نقاطی که cos(x)=0 مثل … , π/2 , 3π/2، مقدار تانژانت تعریفنشده است و نمودار دارای خطهای نامحدود (پارهخطهای قائم) است.
- دوره تناوب تانژانت π است و رفتار آن با سایر توابع متفاوت است.
معادلات مثلثاتی
این بخش به حل معادلاتی مانند sin(x)=0.5 یا tan(2x)=1 میپردازد.
روش حل:
ابتدا زاویه هایی که معادله را برقرار می کنند، در بازه 0 تا 2π پیدا کنید. سپس سایر جواب ها با اضافه کردن مضرب هایی از دوره تناوب به دست می آید:
مثال: اگر \sin (x)=0.5 داریم:
x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi \quad, \quad x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi \quad(k \in \mathbb{Z})روابط مثلثاتی
روابط مثلثاتی مجموعه ای از معادلات و قوانین ریاضی هستند که ارتباط بین زوایا و اضلاع مثلث ها یا توابع مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت و …) را بیان می کنند.
روابط اصلی مثلثاتی:
روابطی که همیشه باید به خاطر داشته باشید:
روابط دوبرابر کمان و نصف کمان:
این روابط برای محاسبات پیچیده استفاده میشوند:
نمودار توابع مثلثاتی
- رسم نمودار توابع مثلثاتی مانند سینوس، کسینوس و تانژانت.
- تحلیل نقاط تقاطع با محورها، ماکزیمم و مینیممها، و نقاط تناوب.
سوال 1:
دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر را به دست آورید.
\begin{array}{r} f(x)=3 \sin (2 x) \\ g(x)=-2 \cos \left(\frac{x}{3}\right) \end{array}پاسخ:
f(x)=3 \sin (2 x)
\text { دوره تناوب : } \frac{2 \pi}{2} = {\pi}
\text { ماكزيمم : 3 }
\text { مينيمم : - 3 }
g(x)=-2 \cos \left(\frac{x}{3}\right)
\text { دوره تناوب : } \frac{2 \pi}{\frac{1}{3}}=6 \pi
\text { ماكزيمم : - 2 }
\text { مينيمم : 2 }
سوال 2:
هر یک از توابع داده شده را با نمودارهای زیر نظیر کنید.
\begin{aligned} & f(x)=\sin (x) \\ & g(x)=\cos (x) \\ & h(x)=\tan (x) \end{aligned}پاسخ:
: f(x)=\sin (x) نمودار سینوسی با دوره تناوب 2 \pi
: g(x)=\cos (x) نمودار کسینوسی با دوره تناوب 2 \pi
: h(x)=\tan (x) نمودار تانژانتی با دوره تناوب \pi
سوال 3:
در هر مورد ضابطه تابعی مثلثاتی با دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم داده شده را بنویسید.
دوره تناوب: \text { ، } 2 \pi ماکزیمم: 4، مینیمم: 4_
پاسخ:
f(x)=4 \cos (x) یا f(x)=4 \sin (x)حل تمرینات حد بی نهایت
تعریف حد در بی نهایت:
حد در بی نهایت به بررسی رفتار یک تابع هنگامی که x به سمت ∞ + یا ∞ _ میل می کند، می پردازد.
به زبان ساده: می خواهیم بفهمیم خروجی تابع f(x) وقتی ورودی (x) بسیار بزرگ یا بسیار کوچک می شود، چه اتفاقی می افتد.
انواع حد در بینهایت
الف) حد در : x \rightarrow+\infty
بررسی رفتار تابع زمانی که x به سمت مثبت بی نهایت می رود (یعنی وقتی x خیلی بزرگ می شود)
ب) حد در : x \rightarrow-\infty
بررسی رفتار تابع زمانی که x به سمت منفی بی نهایت می رود (یعنی وقتی x خیلی کوچک می شود)
مفاهیم کلیدی در حد در بینهایت
- جمله غالب:
در توابع چند جمله ای یا کسری، جمله ای که بالا ترین توان x را دارد، بر رفتار تابع در بی نهایت حاکم است. - تقسیم بر بالا ترین توان:
برای تحلیل توابع پیچیده، صورت و مخرج را بر بالا ترین توان x در مخرج تقسیم کنید. - نمودار و رفتار بصری:
ترسیم نمودار توابع به فهم رفتار آن ها در بینهایت کمک می کند.
سوال :
در چند جمله ای ، f(x)=3 x^2-5 x-2 مقدار f(2) برابر صفر است. بنابراین f(x) بر (x-2) بخش پذیر است. با تکمیل مراحل تقسیم، درستی این مطلب را بررسی کنید.
پاسخ:
ابتدا مقدار f(2) را محاسبه می کنیم.
f(2)=3(2)^2-5(2)-2=12-10-2=0از آنجا که ، f(2)=0 پس (x-2) یک عامل f(x) است. برای اطمینان، تقسیم f(x) بر (x-2) را انجام می دهیم:
f(x)=(x-2)(3 x+1)بنابراین، f(x) بر (x-2) بخش پذیر است.
سوال:
حدود زیر را محاسبه کنید.
\text { الف) } \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}پاسخ :
ابتدا صورت را تجزیه می کنیم:
\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}اکنون حد را محاسبه می کنیم:
\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)=4سوال:
مقدار حدود زیر را محاسبه کنید.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2-5 x+2}{2 x^2+x-1} \text { الف }
پاسخ:
برای محاسبه این حد، بزرگ ترین توان x در مخرج را در نظر می گیریم و صورت و مخرج را بر آن تقسیم می کنیم:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3-\frac{5}{2}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{3}{2}
حل تمرینات مشتق
فصل چهارم کتاب ریاضی دوازدهم تجربی به مبحث مشتق می پردازد و شامل تمرین ها و فعالیت های متعددی است که به درک بهتر این مفهوم کمک می کنند.
تعریف مشتق:
مشتق یک مفهوم ریاضی است که نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه خاص یا در بازه ای از دامنه نشان می دهد.
یا به عبارتی مشتق به ما می گوید که یک تابع چقدر سریع در حال تغییر است.
اگر y=f(x) باشد، مشتق تابع f^{\prime}(x) نشان دهنده شیب خط مماس بر نمودار f(x) در هر نقطه x است.
مفاهیم پایهای مشتق
- شیب خط مماس:
مشتق در یک نقطه، شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه را نشان می دهد. - رابطه با نرخ تغییرات:
مشتق به ما می گوید که یک کمیت با چه سرعتی نسبت به کمیت دیگر تغییر می کند (مثلاً سرعت یک خودرو که تغییر فاصله نسبت به زمان است). - علامت مشتق:
اگر f^{\prime}(x)>0 تابع صعودی است.
اگر f^{\prime}(x)<0 تابع نزولی است.
اگر f^{\prime}(x)=0 تابع در آن نقطه افقی یا دارای نقطه بحرانی است.
سوال 1:
تابع f(x)=3 x^2-2 x+1 داده شده است. مشتق این تابع در نقطه x=2 محاسبه کنید و معادله خط مماس بر منحنی f را در این نقطه بنویسید.
پاسخ:
1. ابتدا مشتق تابع را محاسبه می کنیم:
f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(3 x^2-2 x+1\right)=6 x-2
2. مقدار مشتق در نقطه x=2 :
f^{\prime}(2)=6(2)-2=12-2=10
بنابراین، شیب خط مماس در نقطه x=2 برابر با 10 است.
3. x=2 مقدار تابع در نقطه :
f(2)=3(2)^2-2(2)+1=12-4+1=9
پس، نقطه تماس (2,9) است.
4. معادله خط مماس به صورت y-y_1=m\left(x-x_1\right) است که در آن m شیب و \left(x_1, y_1\right) نقطه تماس است:
y-9=10(x-2)
y-9=10(x-2)
y=10 x-11
بنابراین، معادله خط مماس بر منحنی در نقطه x=2 برابر است با y=10 x-11
سوال 2:
تابع f(x)=-x^2+10 x داده شده است. دو نقطه روی منحنی مشخص کنید که مقدار مشتق تابع در آن ها قرینه یکدیگر باشد.
پاسخ:
1. مشتق تابع را محاسبه می کنیم:
f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(-x^2+10 x\right)=-2 x+10
2. فرض کنیم در نقاط x=a و x=b ، مشتق ها قرینه یکدیگر باشند:
f^{\prime}(a)=-f^{\prime}(b)
3. با جایگذاری مشتق:
\begin{array}{r} -2 a+10=-(-2 b+10) \\ -2 a+10=2 b-10 \end{array}
4. معادله را حل می کنیم:
\begin{array}{r} -2 a+10=2 b-10 \\ -2 a-2 b=-20 \\ a+b=10 \end{array}
بنابراین، هر جفت نقطه ای که مجموع طول آن ها برابر 10 باشد، دارای مشتق های قرینه هستند. به عنوان مثال نقاط x=8, x=2 یا x=6, x=4
در نهایت ریاضی دوازدهم تجربی به مفاهیم کلیدی مانند تابع، مثلثات، حد، و مشتق می پردازد که ابزار های تحلیل رفتار توابع و حل مسائل پیچیده را ارائه می دهد که یادگیری عمیق و تمرین مداوم، دانش آموزان را برای موفقیت در آزمون ها و کنکور آماده می کند.
اگر قصد دارید در آزمونهای مهم بهترین عملکرد را داشته باشید، پیشنهاد میشود استراتژیهای خاصی برای یادگیری به کار بگیرید. مثلاً چگونه ریاضی کنکور را 100 بزنیم را بیاموزید و با استفاده از بهترین روش های تمرین ریاضی برای یادگیری موثر مفاهیم را بهتر درک کنید. حتی در زمان محدود، با تکیه بر بهترین روش مطالعه کنکور در زمان کم میتوانید بازده خود را افزایش دهید.
