جایگشت ریاضی دوازدهم انسانی

جایگشت ریاضی دوازدهم انسانی، یکی از مباحثی است که دانش آموزان را با دنیای شگفت انگیز چیدمان و ترتیب عناصر آشنا می کند. این مبحث، نه تنها در امتحانات نهایی و کنکور سراسری از اهمیت بالایی برخوردار است، بلکه به عنوان پایه ای برای درک مفاهیم پیشرفته تر مانند احتمال و ترکیبات نیز عمل می کند.

جایگشت به ما می آموزد که چگونه اشیا یا اعداد را در ترتیب های مختلف بچینیم و تعداد حالت های ممکن را محاسبه کنیم. این مفهوم، با وجود ظاهر ساده اش، کاربردهای گسترده ای در زندگی واقعی دارد؛ از طراحی رمز های عبور گرفته تا برنامه ریزی رویدادها و تحلیل داده های آماری.

جایگشت به همراه شمارش ریاضی دوازدهم رشته انسانی از مهم ترین مباحث ریاضی کنکور رشته انسانی محسوب می شود.

جایگشت در ریاضی دوازدهم انسانی: مفاهیم پایه و کاربرد ها

جایگشت، در ساده ترین تعریف، به معنای چیدمان اشیا یا اعداد در یک ترتیب خاص است.

در درس ریاضی دوازدهم انسانی، این مفهوم به دانش آموزان کمک می کند تا تعداد روش های ممکن برای چیدن عناصر را محاسبه کنند.

برای مثال، اگر بخواهیم بدانیم چند روش مختلف وجود دارد تا سه کتاب را در یک قفسه بچینیم، از جایگشت استفاده می کنیم. فرمول اصلی جایگشت به این شکل است:

در این فرمول، n تعداد کل عناصر و k تعداد عناصری است که می خواهیم مرتب کنیم. علامت ! نیز به معنای فاکتوریل است، یعنی ضرب اعداد از ۱ تا آن عدد. برای مثال: .4!=4 \times 3 \times 2 \times 1=24

در درس ریاضی دوازدهم انسانی، جایگشت به دانش آموزان کمک می کند تا مسائل پیچیده تر را حل کنند.

برای مثال، اگر بخواهیم بدانیم چند کلمه مختلف می توان از حروف کلمه “ریاضی” ساخت، باید از جایگشت استفاده کنیم. یا اگر بخواهیم تعداد روش های چیدمان افراد دور یک میز را محاسبه کنیم، باز هم جایگشت به کار می آید.

یکی از نکات مهم در یادگیری جایگشت، تشخیص نوع مسئله است. آیا مسئله مربوط به جایگشت ساده است یا جایگشت با تکرار؟ در جایگشت ساده، همه عناصر منحصربه فرد هستند و هیچ تکرار وجود ندارد. اما در جایگشت با تکرار، برخی عناصر تکراری اند و فرمول محاسبه کمی متفاوت است.

مهندس امیر محمودزاده با سال ها سابقه در تدریس ریاضی کنکور به عنوان بهترین معلم ریاضی شیراز توانسته آموزش مفیدی در بحث آمار و احتمال دوازدهم ارائه کند.

مبحث احتمال که در پایه یازدهم نیز تدریس می شود به صورت پکیج آمار و احتمال کامل ارائه می شود تا پیش نیاز های این مبحث برای پایه دوازدهم آموزش داده شود.

برای تسلط بر این مبحث، حل تمرین های متنوع بسیار مهم است. مثلا می توانید مسائلی مانند چیدمان کتاب ها، ساخت کلمات از حروف یک کلمه، یا تعیین ترتیب افراد در صف را تمرین کنید. هرچه بیشتر تمرین کنید، درک بهتری از جایگشت پیدا خواهید کرد.

روش های حل مسئله در مبحث جایگشت ریاضی دوازدهم انسانی

• تشخیص نوع مسئله:

 اولین و مهم ترین قدم در حل هر مسئله جایگشت، تشخیص نوع مسئله است. آیا مسئله مربوط به جایگشت ساده است یا جایگشت با تکرار؟

در جایگشت ساده، همه عناصر منحصر به فرد هستند و هیچ تکرار وجود ندارد. برای مثال، چیدمان حروف A، B، C به صورت ABC یا BAC دو جایگشت متفاوت محسوب می شوند. اما در جایگشت با تکرار، برخی عناصر تکراری اند و فرمول محاسبه متفاوت است.

نکته: اگر در مسئله عناصر تکراری وجود داشته باشد، باید از فرمول جایگشت با تکرار استفاده کنید:

که در آن n تعداد کل عناصر و n_1, n_2, \ldots, n_k تعداد تکرار هر عنصر هستند.

• تعیین تعداد کل عناصر و عناصر مورد نظر

پس از تشخیص نوع مسئله، باید تعداد کل عناصر (n) و تعداد عناصری که می خواهیم مرتب کنیم (k) را مشخص کنید.

برای مثال، اگر بخواهیم بدانیم چند روش مختلف برای چیدمان ۳ کتاب از بین ۵ کتاب وجود دارد،  n=5 و  k=3 است.

فرمول جایگشت ساده:

در این مثال، P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{120}{2}=60 یعنی 60 روش مختلف برای چیدمان 3 کتاب از بین 5 کتاب وجود دارد.

توجه به شرایط خاص مسئله

برخی مسائل جایگشت، شرایط خاصی دارند که باید در حل آن ها در نظر گرفته شود. برای مثال:

• شرایط محدودکننده: ممکن است برخی عناصر در جایگاه های خاصی قرار بگیرند یا نگیرند. مثلا اگر بخواهیم بدانیم چند روش برای چیدمان ۴ نفر دور یک میز وجود دارد، باید از جایگشت دوری استفاده کنیم.
• شرایط تکراری: اگر برخی عناصر تکراری باشند، باید از فرمول جایگشت با تکرار استفاده کنید.
• شرایط ترکیبی: گاهی اوقات، مسئله ترکیبی از جایگشت و ترکیبات است. در این موارد، باید ابتدا ترکیبات را محاسبه کرده و سپس جایگشت را اعمال کنید.

استفاده از فرمول های مناسب

فرمول های جایگشت، ابزار اصلی برای حل مسائل هستند. مهم است که بدانید چه زمانی از کدام فرمول استفاده کنید.

• جایگشت ساده: زمانی که همه عناصر منحصر به فرد هستند.
• جایگشت با تکرار: زمانی که برخی عناصر تکراری اند.
• جایگشت دوری: زمانی که عناصر دور یک دایره چیده می شوند. فرمول جایگشت دوری به این شکل است:

تمرین و حل مثال های متنوع

یکی از بهترین راه ها برای تسلط بر روش های حل مسئله، تمرین مداوم است. سعی کنید مسائل متنوعی را حل کنید تا با انواع مختلف جایگشت آشنا شوید. برای مثال:

• مسائل ساده: چیدمان کتاب ها، حروف، یا افراد در صف.
• مسائل پیچیده: چیدمان با شرایط خاص، مانند قرار گرفتن برخی عناصر در جایگاه های مشخص.
• مسائل ترکیبی: مسائلی که ترکیبی از جایگشت و ترکیبات هستند.

جایگشت و ترکیبات: تفاوت ها و شباهت های کلیدی

جایگشت و ترکیبات، دو مفهوم اساسی در ریاضیات هستند که هر دو به چیدمان و انتخاب عناصر مربوط می شوند. با این حال، این دو مفهوم تفاوت های مهمی دارند که درک آن ها برای حل مسائل ریاضی، به ویژه در درس ریاضی دوازدهم انسانی، ضروری است.

• جایگشت :
  جایگشت به معنای چیدمان عناصر در یک ترتیب خاص است. در جایگشت، ترتیب عناصر اهمیت دارد. برای مثال، چیدمان حروف A، B، C  به صورت ABC با BAC دو جایگشت متفاوت محسوب می شوند. فرمول جایگشت به این شکل است:

که در آن n  تعداد کل عناصر و k  تعداد عناصری است که می خواهیم مرتب کنیم.

• ترکیبات:
  ترکیبات به معنای انتخاب عناصر بدون توجه به ترتیب آن ها است. در ترکیبات، تنها انتخاب عناصر مهم است، نه ترتیب آن ها. برای مثال، انتخاب حروف  A، B، C  به صورت {A, B, C} با {B, A, C} یک ترکیب محسوب می شوند. فرمول ترکیبات به این شکل است:

تفاوت های کلیدی

• اهمیت ترتیب:
  • در جایگشت، ترتیب عناصر مهم است. برای مثال، چیدمان ۱، ۲، ۳ با ۳، ۲، ۱ دو جایگشت متفاوت هستند.
  • در ترکیبات، ترتیب عناصر مهم نیست. برای مثال، انتخاب {۱، ۲، ۳} با {۳، ۲، ۱} یک ترکیب محسوب می شوند.

• فرمول محاسبه: 

• جایگشت از فرمول P(n, k)=\frac{n!}{(n-k)!} استفاده می کند.
• ترکیبیات از فرمول C(n, k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} استفاده می کند.

• تعداد حالات:
  • تعداد جایگشت ها همیشه بیشتر یا مساوی تعداد ترکیبات است، زیرا در جایگشت، ترتیب عناصر نیز محاسبه می شود.

شباهت های کلیدی

• هر دو به انتخاب عناصر مربوط می شوند:
  • هم جایگشت و هم ترکیبات، به انتخاب k  عنصر از بین n  عنصر مربوط می شوند.
• هر دو از فاکتوریل استفاده می کنند:
  • در هر دو مفهوم، از فاکتوریل (!) برای محاسبه تعداد حالات استفاده می شود.
• هر دو در احتمال و آمار کاربرد دارند:
  • جایگشت و ترکیبات، پایه بسیاری از محاسبات در احتمال و آمار هستند.

• مثال جایگشت:

فرض کنید می خواهیم بدانیم چند روش مختلف برای چیدمان 3 کتاب از بین 5 کتاب وجود دارد. از آنجا که ترتیب کتاب ها مهم است، از جایگشت استفاده می کنیم:

یعنی 60 روش مختلف برای چیدمان 3 کتاب از بین 5 کتاب وجود دارد.

• مثال ترکیبیات:

فرض کنید می خواهمی بدانیم چند گروه 3 نفره می توان از بین 5 نفر تشکیل داد. از آنجا که ترتیب افراد در گروه مهم نیست، از ترکیبیات استفاده می کنیم:

یعنی 10 گروه مختلف 3 نفره می توان از بین 5 نفر تشکیل داد.

دانش آموزان رشته انسانی چون دروس محاسباتی اندکی در دوران تحصیل خود دارند هنگام مطالعه درس ریاضی می پرسند اگر در کنکور ریاضی نزنیم چه می شود؟ یا به دلیل اهمیت سوابق تحصیلی و نمرات امتحانات نهایی این پرسش مطرح می شود که چگونه ریاضی را برای امتحان نهایی بخوانیم.

در پاسخ به پرسش اول می توان گفت که یکی از اشتباهات دانش آموزان حذف درس رتبه ساز ریاضی در کنکور است زیرا با حذف این درس یقینا کسب نتیجه عالی ناممکن خواهد بود.

درس ریاضی در امتحانات نهایی نیز نیازمند برنامه ریزی و اطلاع از بارم بندی مباحث در امتحان است.

 نکات مهم برای تشخیص جایگشت و ترکیبات

• اگر ترتیب عناصر مهم باشد، از جایگشت استفاده کنید.
• اگر فقط انتخاب عناصر مهم باشد و ترتیب اهمیت نداشته باشد، از ترکیبات استفاده کنید.
• در مسائل پیچیده، ممکن است نیاز باشد از هر دو مفهوم استفاده کنید.

تمرین های کاربردی جایگشت برای دانش آموزان رشته انسانی

سوال 1 :

فرض کنید 5 کتاب مختلف داریم و میخواهمی آن ها را در یک قفسه بچینیم. اگر کتاب های A و B حتما باید کنار هم قرار بگیرند، چند روش مختلف برای چیدمان کتاب ها وجود دارد؟

حل:

1. ابتدا کتاب های A و B را به عنوان یک واحد در نظر می گیریم. بنابراین، به جای 5 کتاب، 4 واحد داریم ( AB , C , D , E).
2. تعداد جایگشت های این 4 واحد برابر است با :

3. کتاب های A و B می توانند به دو حالت مختلف کنار هم قرار بگیرند (AB یا BA). بنابراین، تعداد حالات برای این دو کتاب برابر است با:

4. با ضرب این دو مقدار، تعداد کل جایگشت ها به دست می آید:

48 روش مختلف برای چیدمان کتاب ها وجود دارد.

سوال 2:

5 نفر می خواهند دور یک میز گرد بنشینند. چند روش مختلف برای چیدمان آن ها وجود دارد؟

حل:

1. در جایگشت دوری، چیدمان هایی که با چرخش به دست می آیند، یکسان در نظر گرفته می شوند. بنابراین، از فرمول جایگشت دوری استفاده می کنیم:

2. در اینجا،n=5 . بنابراین:
P=(5-1)!=4!=24

24 روش مختلف برای چیدمان 5 نفر دور یک میز گرد وجود دارد.

در راستای حل تمرین های متنوع این سوال برای دانش آموزان مطرح می شود که چگونه ریاضی کنکور را صد بزنیم. قطعا حل تمرین ها و تست ها شبیه کنکور می تواند یکی از راه های موفقیت باشد.

اشتباهات رایج دانش آموزان در حل مسائل جایگشت

مشکل:
برخی دانش آموزان نمی توانند تشخیص دهند که آیا مسئله مربوط به جایگشت است یا ترکیبات. این اشتباه منجر به استفاده نادرست از روش ها و محاسبات اشتباه می شود.

راهکار:

• به دقت سوال را بخوانید و بررسی کنید که آیا ترتیب عناصر مهم است یا خیر.
• اگر ترتیب مهم است، مسئله مربوط به جایگشت است. اگر ترتیب مهم نیست، مسئله مربوط به ترکیبات است.

۲. فراموش کردن شرایط خاص

مشکل:
بعضی مسائل جایگشت، شرایط خاصی دارند (مثلا برخی عناصر باید در جایگاه های خاصی قرار بگیرند یا نگیرند). دانش آموزان ممکن است این شرایط را نادیده بگیرند و به پاسخ اشتباه برسند.

راهکار:

• قبل از شروع حل مسئله، شرایط خاص را به دقت بررسی کنید.
• اگر برخی عناصر باید در جایگاه های خاصی قرار بگیرند، ابتدا آن ها را در جایگاه های مشخص قرار دهید و سپس بقیه عناصر را جایگشت کنید.
• اگر برخی عناصر نباید در جایگاه های خاصی قرار بگیرند، از اصل متمم استفاده کنید (یعنی کل جایگشت ها را محاسبه کرده و سپس جایگشت های نامطلوب را از آن کم کنید).

۳. بی توجهی به ترتیب عناصر

مشکل:
در برخی مسائل، دانش آموزان فراموش می کنند که ترتیب عناصر در جایگشت مهم است. این موضوع به ویژه در تفاوت بین جایگشت و ترکیبات دیده می شود.

راهکار:

• به یاد داشته باشید که در جایگشت، ترتیب عناصر مهم است. برای مثال، چیدمان ABC با BAC دو جایگشت متفاوت محسوب می شوند.
• اگر ترتیب عناصر مهم نباشد، مسئله مربوط به ترکیبات است.

۴. عدم تمرین کافی

مشکل:
بعضی دانش آموزان به دلیل عدم تمرین کافی، در حل مسائل جایگشت دچار مشکل می شوند. این موضوع به ویژه در مواجهه با مسائل پیچیده تر بیشتر دیده می شود.

راهکار:

• هر روز حداقل ۵ مسئله جایگشت حل کنید.
• مسائل را از ساده به پیچیده طبقه بندی کنید و به تدریج سطح دشواری آن ها را افزایش دهید.
• از کتاب های کمک درسی و منابع آنلاین برای تمرین بیشتر استفاده کنید.

۵. اشتباه در محاسبات عددی

مشکل:
بعضی دانش آموزان در محاسبات عددی دچار اشتباه می شوند، به ویژه زمانی که با اعداد بزرگ سروکار دارند.

راهکار:

• مراحل محاسبات را به طور جداگانه انجام دهید و از ماشین حساب برای بررسی نتایج استفاده کنید.
• اگر امکان استفاده از ماشین حساب وجود ندارد، محاسبات را به بخش های کوچکتر تقسیم کنید و هر بخش را به طور جداگانه حل کنید.

یکی از راه های تقویت ریاضی کنکور شناسایی مباحث پرتکرار کنکور است، آگاهی از تعداد سوالات آمار و احتمال در کنکور می تواند در برنامه صحیح کمک کننده باشد.